Se T: R^3 R^2 é linear e dim(ker T)=1, qual é a dimensão da imagem de T ? (Use o Teorema do Núcleo e da Imagem.)

Passo 1

O enunciado nos dá uma transformação linear Tcolon R^3toR^2 com dim(ker T)=1. Precisamos achar dim(ImT) usando o Teorema do Núcleo e da Imagem.

Passo 2

O Teorema do Núcleo e da Imagem afirma que para qualquer transformação linear Tcolon Vto W,
dim(V) ;=;dim(ker T);+;dim(ImT)
Aplicando em V=R^3, temos dim(R^3)=3, logo
3 ;=;1 + dim(ImT),
de onde segue
dim(ImT) ;=;3 - 1 ;=;2

Passo 3

Como ImT é subespaço de R^2, sua dimensão máxima é 2, em perfeita concordância com o valor encontrado.

Resposta

A dimensão da imagem de T é 2.

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