A dimensão do subespaço [t, e^t, t-e^t, t e^t, t+e^t] de F(R) é

Passo 1

O enunciado pede a dimensão do subespaço de F(R) gerado pelas funções
t, e^t, t - e^t, t e^t, t+e^t
O conteúdo aqui é testar independência linear de funções, agrupando combinações lineares e igualando-as à função zero para encontrar o posto do sistema.

Passo 2

Suponha que existam constantes alpha,beta,gamma,de<a,varepsiloninR tais que
alpha,t + beta,e^t + gamma,(t - e^t) + de<a,(t e^t) + varepsilon,(t + e^t) = 0
para todo t. Vamos agrupar termos em função de bases candidatas.

Passo 3

Reescrevendo e juntando coeficientes de t, e^t e t e^t, temos
(alpha + gamma + varepsilon),t + (beta - gamma + varepsilon),e^t + de<a,(t e^t) = 0
Como as funções t, e^t e t e^t são linearmente independentes, seus coeficientes devem ser zero:
alpha + gamma + varepsilon = 0, beta - gamma + varepsilon = 0, de<a = 0

Passo 4

Temos 5 incógnitas alpha,beta,gamma,de<a,varepsilon e 3 equações lineares, então o espaço de soluções (o núcleo) tem dimensão 5-3=2. Pela dimensão de um conjunto de vetores em espaço vetorial,
dim(span) = #funções ;-; dim(núc<=o) = 5 - 2 = 3 çõú

Resposta

A dimensão do subespaço é 3.

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