(Dimensionamento de amostra) Seja
:
. Qual deverá ser o tamanho de uma amostra com reposição, de tal forma que
?
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão tá pedindo. A gente tem uma variável aleatória $ X $ que segue uma distribuição normal com média $ \mu = 1200 $ e variância $ \sigma^2 = 840 $. A parada é descobrir qual deve ser o tamanho da amostra $ n $ que, ao tirar essa amostra com reposição, a média amostral $ \bar{x} $ fique entre 1196 e 1204 com uma probabilidade de 90%.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de Distribuição Amostral da Média e Intervalos de Confiança. A gente vai usar também a Transformada Z para trabalhar com probabilidades na distribuição normal.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a Distribuição Amostral da Média. Quando você tira uma amostra de tamanho $ n $ de uma população normal $ N(\mu, \sigma^2) $, a média amostral $ \bar{x} $ também segue uma distribuição normal, com média igual à da população $ \mu $ e variância igual à variância da população dividida pelo tamanho da amostra $ n $. Ou seja:
No nosso caso, $ \mu = 1200 $ e $ \sigma^2 = 840 $, então:
Passo 3
Agora, queremos que a probabilidade de $ \bar{x} $ estar entre 1196 e 1204 seja 90%, ou seja:
Isso equivale a dizer que a diferença entre a média amostral $ \bar{x} $ e a média da população $ \mu $ seja menor que 4:
Passo 4
Para resolver essa probabilidade, usamos a Transformada Z, que padroniza a distribuição. A fórmula da Transformada Z para a média amostral é:
Queremos que $ Z $ esteja entre os valores que correspondem a 90% de confiança. Como a distribuição normal é simétrica, vamos dividir a probabilidade de 90% igualmente aos dois lados da média, ficando 5% de cada lado.
Passo 5
Consultando uma tabela de distribuição normal ou usando uma calculadora, encontramos o valor $ Z $ que deixa 5% da área na cauda direita. Esse valor é aproximadamente:
Então, temos:
Passo 6
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o tamanho da amostra $ n $. Primeiro, isolamos $ \sqrt{n} $:
Multiplicando ambos os lados por $ \sqrt{n} $ e depois dividindo por $ \frac{4}{1,645} $, temos:
Elevando ambos os lados ao quadrado para encontrar $ n $:
Passo 7
Finalmente, substituímos o valor de $ \sigma $. Sabemos que $ \sigma^2 = 840 $, então $ \sigma = \sqrt{840} \approx 28,98 $.
Substituindo:
Calculando os valores:
Resposta
O tamanho da amostra necessário é de aproximadamente 142 elementos.