O tempo de vida de certo componente mecânico tem média de 1200 horas e desvio padrão de 80 horas. Numa amostra aleatória de 64 desses componentes, achar a probabilidade de a média amostral:
ser superior a 1212,8 horas. Resp: 0,1003

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que pergunta o exercício. Temos um componente mecânico cujo tempo de vida médio é de 1200 horas, com um desvio padrão de 80 horas. A gente pega uma amostra aleatória de 64 desses componentes e quer saber qual a probabilidade da média dessa amostra ser maior que 1212,8 horas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade e estatística, mais especificamente a distribuição normal e o teorema do limite central.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as informações que temos:
  • Média populacional ( mu): 1200 horas
  • Desvio padrão populacional ( sigma): 80 horas
  • Tamanho da amostra ( n): 64
  • Média amostral que queremos analisar ( barx): 1212,8 horas

Passo 3

Como estamos lidando com médias amostrais e temos uma amostra suficientemente grande (n = 64), podemos aplicar o teorema do limite central. Esse teorema nos diz que a distribuição das médias amostrais será aproximadamente normal, mesmo que a distribuição original não seja, desde que o tamanho da amostra seja grande o suficiente.

Passo 4

Vamos calcular o erro padrão da média. O erro padrão ( SE) é dado por:
SE = sigmaraizn = 80raiz64 = 808 = 10 horas

Passo 5

Agora, queremos encontrar a probabilidade de a média amostral ser maior que 1212,8 horas. Para isso, vamos calcular o escore z, que nos diz quantos desvios padrões a média amostral está acima da média populacional.
z = barx - muSE = 1212,8 - 120010 = 12,810 = 1,28

Passo 6

Com o escore z calculado, consultamos a tabela da distribuição normal padrão para encontrar a probabilidade correspondente. Um z de 1,28 corresponde a uma área de aproximadamente 0,8997 à esquerda.

Passo 7

Como queremos a probabilidade da média ser superior a 1212,8 horas, precisamos calcular a área à direita do z = 1,28. Fazemos isso subtraindo a área à esquerda de 1:
P(barx > 1212,8) = 1 - 0,8997 = 0,1003

Resposta

A probabilidade de a média amostral ser superior a 1212,8 horas é de 0,1003 (ou 10,03%).

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