Dimensionar uma sapata para um pilar com seção de 40 \mathrm{~cm} \times 60 \mathrm{~cm} com uma carga total de 250 toneladas (força), onde a tensão admissível do solo é de 3,2 \mathrm{Kgf} / \mathrm{cm}^{2} (pressão):
  • Dimensionamento da sapata isolada utilizando método das bielas, que consiste em:
  1. Determinar as dimensões da sapata;
  2. Determinar altura da sapata;
  3. Determinar d’ (distância entre eixos);
  4. Determinar comprimento de ancoragem ao pilar (lb);
  5. Verificação do concreto quanto a resistencia ao cisalhamento;
  6. Verificação da aplicação do método das bielas;
  7. Cálculo das armaduras;
  8. Verificar espaçamento entre as barras.

Passo 1

O enunciado pede o dimensionamento de uma sapata isolada sob um pilar de seção 40,cm × 60,cm que transmite uma carga vertical de 250,t (força). A tensão admissível do solo é \,3,2,kgf/c m^{2}. Vamos usar o método das bielas-tirantes e incluir: definição da área necessária, escolha das dimensões no plano, cálculo da altura pelo momento fletor, determinação da armadura, verificação de cisalhamento e comprimento de ancoragem.

Passo 2

Determinar as dimensões planimétricas da sapata.
A área da base \,A deve satisfazer
A \;=\;\frac{P}{\sigma_{\mathrm{adm}}}
onde P=250\,000,kgf e \sigma_{\mathrm{adm}}=3,2,kgf/c m^{2}.
A=\frac{250\,000}{3,2}\approx78\,125\\ \mathrm{cm}^2.
Escolhemos uma sapata retangular de lados a e b tais que a\times b=78\,125. Para facilitar, tomamos
a =300\\ \mathrm{cm}, \quad b=\frac{78\,125}{300}\approx260\\ \mathrm{cm}.

Passo 3

Determinar a altura da sapata por flexão.
A carga de reação \,q=\sigma_{\mathrm{adm}}=3,2,kgf/c m^{2} age sob toda a base. Os momentos fletores máximos em cada direção são
M_x = q\,b\,\frac{a^2}{8}, \quad M_y = q\,a\,\frac{b^2}{8}.
Substituindo
M_x=3,2\cdot260\cdot\frac{300^2}{8}=9{,}36\times10^6\\ \mathrm{kgf\cdot cm},
M_y=3,2\cdot300\cdot\frac{260^2}{8}=8{,}11\times10^6\\ \mathrm{kgf\cdot cm}.
Para a armadura usamos aço CA-50 com f_{yd}=4\,200,kgf/c m^{2} e cobrimento c=4,cm. Admitimos barras de diâmetro ϕ=1{,}2,cm (Ø12 mm), o que dá altura útil aproximada
d = h - c - \tfrac{ϕ}{2}\approx h - 4 - 0{,}6 = h - 4{,}6\;\mathrm{cm}.
Assumindo d\approx57,cm (logo h\approx62,cm), temos o braço de alavanca z=0{,}9\,d=51{,}3,cm.

Passo 4

Determinar d', distância entre eixos das armaduras marginais.
Com cobrimento c=4,cm e estribo de 1,cm, fica
d' = c + ϕ_{\mathrm{estribo}} + \tfrac{ϕ_{\mathrm{barra}}}{2} \approx 4 + 1 + 0{,}6 = 5{,}6\\ \mathrm{cm}.

Passo 5

Determinar comprimento de ancoragem l_b.
Para aço CA-50 e concreto C25, adotamos perna hestra de aderência média e
l_b = 40\\ \mathrm{cm}\quad(\approx 30\,ϕ).

Passo 6

Verificação do concreto à flexão e ao cisalhamento de punção.
  1. Flexão: a área de aço total necessária por metro em cada direção é
A_{s,x}=\frac{M_x}{0{,}9\,d\,f_{yd}\,b}= \frac{9{,}36\times10^6}{0{,}9\cdot57\cdot4\,200\cdot260}\approx0{,}167\\ \frac{\mathrm{cm}^2}{\mathrm{cm}} \;\Rightarrow\;16{,}7\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{m},
A_{s,y}=\frac{8{,}11\times10^6}{0{,}9\cdot57\cdot4\,200\cdot300}\approx0{,}126\\ \frac{\mathrm{cm}^2}{\mathrm{cm}} \;\Rightarrow\;12{,}6\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{m}.
  1. Punção: a força de cisalhamento em torno da coluna a 2d da face é
V_u = P - q\,(a-2d)\,(b-2d)\approx250\,000 - 3{,}2\,(300-114)\,(260-114)\approx163\,100\\ \mathrm{kgf},
\tau_{ed}=\frac{V_u}{u\,d},\quad u=2\bigl[(a-2d)+(b-2d)\bigr]=664\\ \mathrm{cm},
\tau_{ed}=\frac{163\,100}{664\cdot57}\approx4{,}3\\ \mathrm{kgf/cm^2}.
Compare com \tau_{Rd,c}\approx14{,}3,kgf/c m^{2} (C25), logo está seguro.

Passo 7

Verificação do método das bielas.
Para d=57,cm, o fator k=1+ \sqrt{200/d}\approx1{,}9<2, e a biela forma ângulo \approx45^\circ. As condições geométricas do método estão atendidas.

Passo 8

Cálculo final das armaduras e espaçamentos.
Para A_{s,x}=16{,}7,c m^{2}/m com barras Ø20 ( A_{\varphi}=3{,}14,c m^{2}) escolhemos espaçamento
s_x=\frac{100\cdot3{,}14}{16{,}7}\approx18{,}8\\ \mathrm{cm}\quad(\text{adotamos }20\\ \mathrm{cm}).
Para A_{s,y}=12{,}6,c m^{2}/m, igual barra Ø20,
s_y=\frac{100\cdot3{,}14}{12{,}6}\approx24{,}9\\ \mathrm{cm}\quad(\text{adotamos }25\\ \mathrm{cm}).

Resposta

Dimensões da base: 300,cm × 260,cm;
altura h=62,cm (com d\approx57,cm);
cobrimento efetivo d'=5{,}6,cm;
comprimento de ancoragem l_b=40,cm;
armaduras principais com barras Ø20 em malha 20 cm \times 25 cm;
verificações de cisalhamento e método das bielas atendidas.

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