Esboce a curva usando as equações paramétricas para marcar os pontos. Indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quanto t aumenta. Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva.
x=e^{2 t}, y=t+1

Passo 1

O enunciado nos dá as paramétricas
x = e^{2t},\quad y = t + 1,
pede (i) o esboço da curva com pontos marcados e seta indicando a direção de traçado conforme t aumenta, e (ii) a eliminação do parâmetro para obter a equação cartesiana.

Passo 2

Eliminamos o parâmetro isolando t em y = t+1:
t = y - 1.
Substituindo em x = e^{2t} vem
x = e^{2(y-1)}.
Opcionalmente, escrevemos em forma explícita y:
y = 1 + \tfrac12\ln(x),
com domínio x>0.

Passo 3

Escolhemos pontos notáveis calculando para t=-1,0,1:
t=-1:\;(x,y)=\bigl(e^{-2},\,0\bigr), \quad t=0:\;(x,y)=\bigl(1,\,1\bigr), \quad t=1:\;(x,y)=\bigl(e^{2},\,2\bigr).

Passo 4

Para o esboço note que:
  • À medida que t\to -\infty, x\to0^+ e y\to-\infty.
  • À medida que t\to+\infty, x\to+\infty e y\to+\infty.
    Logo a curva é o gráfico de y=1+\tfrac12\ln(x) no plano xy, com seta indo de baixo para cima e da esquerda para a direita, passando pelos pontos marcados.

Resposta

Esboço: curva no primeiro quadrante estendendo-se para x\to0^+, y\to-\infty até x\to+\infty, y\to+\infty; pontos \bigl(e^{-2},0\bigr), (1,1), \bigl(e^{2},2\bigr); seta de \bigl(e^{-2},0\bigr) para \bigl(e^{2},2\bigr).
Equação cartesiana:
x = e^{2(y-1)}
ou equivalentemente
y = 1 + \tfrac12\ln(x),\quad x>0.

Exercícios relacionados