Exercicis 247- Resolvo o PU
\left\{\begin{array}{l} (x+y)^{2} d x+\left(2 y+x^{2}-1\right) d y=0 \\ y(1)=1 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(x+y)^{2}\,dx \;+\;\bigl(x^{2}+2y-1\bigr)\,dy \;=\;0
com condição inicial y(1)=1.
O objetivo é encontrar a solução implícita F(x,y)=C que satisfaça essa condição. Vamos precisar verificar se a equação é exata e, caso não seja, buscar um fator integrante simples (função só de x, só de y ou monômio x^{m}y^{n}).

Passo 2

Verificamos exatidão: definimos
M(x,y)=(x+y)^{2}, \quad N(x,y)=x^{2}+2y-1.
Calculamos as derivadas parciais
M_{y}=2(x+y), \quad N_{x}=2x.
Como M_{y}\neq N_{x} (em geral) a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante \mu(x) só em função de x.
A condição seria
\frac{1}{\mu}\frac{d\mu}{dx} =\frac{M_{y}-N_{x}}{N} =\frac{2(x+y)-2x}{\,x^{2}+2y-1\,} =\frac{2y}{x^{2}+2y-1},
que depende de y, logo não há \mu(x) puro.

Passo 4

Procuramos um fator integrante \mu(y) só em função de y.
Deveria valer
\frac{1}{\mu}\frac{d\mu}{dy} =\frac{N_{x}-M_{y}}{M} =\frac{2x-2(x+y)}{(x+y)^{2}} =-\frac{2y}{(x+y)^{2}},
que depende de x, logo não há \mu(y) puro.

Passo 5

Tentamos um fator integrante do tipo monômio \mu(x,y)=x^{m}y^{n}.
Após igualar \partial_{y}(x^{m}y^{n}M)=\partial_{x}(x^{m}y^{n}N)
e comparar coeficientes em x e y, chega-se a um sistema sem solução inteira para (m,n). Logo não existe fator integrante de forma x^{m}y^{n}.

Passo 6

Como não encontramos um fator integrante elementar (nem dependente só de x, só de y ou do tipo x^{m}y^{n}), a equação não pode ser resolvida por métodos de exatidão com fatores integrantes simples. Não há atalho via fator integrante elementar e a solução em forma fechada envolveria técnicas mais avançadas (integrantes dependentes de combinações complicadas de x e y).

Resposta

A equação não é exata e não admite fator integrante simples (função só de x, só de y ou monômio x^{m}y^{n}). Portanto, não se obtém solução implícita elementar por esses métodos.

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