Exercicis 247- Resolvo o PU
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
com condição inicial
.
O objetivo é encontrar a solução implícita que satisfaça essa condição. Vamos precisar verificar se a equação é exata e, caso não seja, buscar um fator integrante simples (função só de
, só de
ou monômio
).
O objetivo é encontrar a solução implícita
Passo 2
Verificamos exatidão: definimos
Calculamos as derivadas parciais
Como
(em geral) a equação não é exata.
Passo 3
Procuramos um fator integrante
só em função de
.
A condição seria
A condição seria
que depende de
, logo não há
puro.
Passo 4
Procuramos um fator integrante
só em função de
.
Deveria valer
Deveria valer
que depende de
, logo não há
puro.
Passo 5
Tentamos um fator integrante do tipo monômio
.
Após igualar
e comparar coeficientes em e
, chega-se a um sistema sem solução inteira para
. Logo não existe fator integrante de forma
.
Após igualar
e comparar coeficientes em
Passo 6
Como não encontramos um fator integrante elementar (nem dependente só de
, só de
ou do tipo
), a equação não pode ser resolvida por métodos de exatidão com fatores integrantes simples. Não há atalho via fator integrante elementar e a solução em forma fechada envolveria técnicas mais avançadas (integrantes dependentes de combinações complicadas de
e
).
Resposta
A equação não é exata e não admite fator integrante simples (função só de
, só de
ou monômio
). Portanto, não se obtém solução implícita elementar por esses métodos.