As dimensões de uma caixa retangular são medidas como 75 \mathrm{~cm}, 60 \mathrm{~cm} e 40 cm , cada medida feita com precisão de 0,2 \mathrm{~cm}. Estime o maior erro possível quando calculamos o volume da caixa ( V= a.b.c.). \mathrm{R}: \sim 1 \% do volume da caixa.
\frac{d V}{V}=\left[\left(\frac{\partial V}{\partial a}\right)_{b, c} \cdot \delta a+\left(\frac{\partial V}{\partial b}\right)_{a, c} \cdot \delta b+\left(\frac{\partial V}{\partial c}\right)_{a, b} \cdot \delta c\right] \cdot 100 \%

Passo 1

O enunciado dá as dimensões da caixa a=75\\ \mathrm{cm}, b=60\\ \mathrm{cm} e c=40\\ \mathrm{cm}, cada uma medida com precisão \delta a=\delta b=\delta c=0{,}2\\ \mathrm{cm}. Queremos estimar o maior erro relativo no volume V=abc. Para isso, vamos usar a propagação de erros via diferenciais, lembrando que
dV =\frac{\partial V}{\partial a}\,da +\frac{\partial V}{\partial b}\,db +\frac{\partial V}{\partial c}\,dc.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de V=abc:
\frac{\partial V}{\partial a}=bc,\quad \frac{\partial V}{\partial b}=ac,\quad \frac{\partial V}{\partial c}=ab.
Logo,
dV =bc\,\delta a + ac\,\delta b + ab\,\delta c.

Passo 3

Para achar o erro relativo, dividimos por V=abc:
\frac{dV}{V} =\frac{bc\,\delta a + ac\,\delta b + ab\,\delta c}{abc} =\frac{\delta a}{a} + \frac{\delta b}{b} + \frac{\delta c}{c}.
Substituindo \delta a=\delta b=\delta c=0{,}2 e a=75, b=60, c=40,
\frac{dV}{V} = \frac{0{,}2}{75} + \frac{0{,}2}{60} + \frac{0{,}2}{40} =0{,}002667 + 0{,}003333 + 0{,}005 =0{,}011.

Passo 4

Convertendo em porcentagem:
\frac{dV}{V}\times 100\% =0{,}011\times100\% =1{,}1\%.
Arredondando, obtemos cerca de 1\% de erro no volume.

Resposta

O maior erro percentual estimado no volume é aproximadamente 1\%.

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