Um estudante mediu a pressão de um gás para cinco temperaturas distintas, mantendo
volume constante, e obteve os resultados apresentados na tabela abaixo. Os dados dele deveriam se ajustar a uma reta da forma
, onde
é o zero absoluto da temperatura (cujo valor aceito é
). Determine o melhor ajuste de uma reta pelo método dos mínimos quadrados e, em seguida, a melhor estimativa para o zero absoluto e a respectiva incerteza.
(mmHg)
65
75
85
95
105
-20
17
42
94
127
|
65 | 75 | 85 | 95 | 105 |
|
-20 | 17 | 42 | 94 | 127 |
Passo 1
O enunciado nos dá cinco pares de valores de pressão
e temperatura
, e pede que ajustemos uma reta
pelo método dos mínimos quadrados. Aqui
é o intercepto (estimativa do zero absoluto) e
é a inclinação. Para resolver precisamos calcular médias, variâncias amostrais, a fórmula de
e
em mínimos quadrados e, depois, a incerteza nessas estimativas a partir dos resíduos.
Passo 2
Calculemos primeiro as somas e médias:
Como
, temos
Agora a variância em
e a covariância:
Passo 3
As fórmulas de mínimos quadrados dão
Passo 4
Para a incerteza, calculamos os resíduos
e a soma dos quadrados dos resíduos:
,
,
=−10,
,
A variância residual é
As incertezas nas estimativas vêm de
Passo 5
O ajuste final e o zero absoluto estimado (intercepto) com suas incertezas são:
logo a melhor estimativa para o zero absoluto é
Resposta
A melhor reta é
e o zero absoluto estimado é
.