Um estudante mediu a pressão de um gás para cinco temperaturas distintas, mantendo o volume constante, e obteve os resultados apresentados na tabela abaixo. Os dados dele deveriam se ajustar a uma reta da forma T=A+B P, onde A é o zero absoluto da temperatura (cujo valor aceito é -273,15^{\circ} \mathrm{C} ). Determine o melhor ajuste de uma reta pelo método dos mínimos quadrados e, em seguida, a melhor estimativa para o zero absoluto e a respectiva incerteza.
\boldsymbol{P} (mmHg) 65 75 85 95 105
\boldsymbol{T}\left({ }^{\circ} \mathbf{C}\right) -20 17 42 94 127

Passo 1

O enunciado nos dá cinco pares de valores de pressão P e temperatura T, e pede que ajustemos uma reta
T = A + B\,P
pelo método dos mínimos quadrados. Aqui A é o intercepto (estimativa do zero absoluto) e B é a inclinação. Para resolver precisamos calcular médias, variâncias amostrais, a fórmula de B e A em mínimos quadrados e, depois, a incerteza nessas estimativas a partir dos resíduos.

Passo 2

Calculemos primeiro as somas e médias:
\sum_i P_i = 65 + 75 + 85 + 95 + 105 = 425,\quad \sum_i T_i = -20 + 17 + 42 + 94 + 127 = 260.
Como N=5, temos
\bar P = \frac{425}{5} = 85, \quad \bar T = \frac{260}{5} = 52.
Agora a variância em P e a covariância:
S_{xx} = \sum_i (P_i - \bar P)^2 = (-20)^2 + (-10)^2 + 0^2 + 10^2 + 20^2 = 1000,
S_{xy} = \sum_i (P_i - \bar P)(T_i - \bar T) = (-20)(-72) + (-10)(-35) + 0(-10) + 10\cdot42 + 20\cdot75 = 3710.

Passo 3

As fórmulas de mínimos quadrados dão
B = \frac{S_{xy}}{S_{xx}} = \frac{3710}{1000} = 3{,}71,
A = \bar T - B\,\bar P = 52 - 3{,}71 \times 85 = -263{,}35.

Passo 4

Para a incerteza, calculamos os resíduos r_i = T_i - (A + B\,P_i) e a soma dos quadrados dos resíduos:
r_{1} =2,2, r_{2} =2,1, r_{3}=−10, r_{4} =4,9, r_{5} =0,8\Rightarrow
\mathrm{SSR} = \sum_i r_i^2 \approx 133{,}9.
A variância residual é
s^2 = \frac{\mathrm{SSR}}{N-2} = \frac{133{,}9}{3} \approx 44{,}63, \quad s = \sqrt{44{,}63} \approx 6{,}68.
As incertezas nas estimativas vêm de
\sigma_B = \frac{s}{\sqrt{S_{xx}}} = \frac{6{,}68}{\sqrt{1000}} \approx 0{,}21,
\sigma_A = s \,\sqrt{\frac{1}{N} + \frac{\bar P^2}{S_{xx}}} = 6{,}68\,\sqrt{0{,}2 + \frac{85^2}{1000}} \approx 18{,}2.

Passo 5

O ajuste final e o zero absoluto estimado (intercepto) com suas incertezas são:
T = (-263{,}35 \pm 18{,}2) + (3{,}71 \pm 0{,}21)\,P,
logo a melhor estimativa para o zero absoluto é
A = -263{,}35 \pm 18{,}2\;^\circ\mathrm{C}.

Resposta

A melhor reta é
T = (-263{,}35 \pm 18{,}2) + (3{,}71 \pm 0{,}21)\,P
e o zero absoluto estimado é -263{,}35 \pm 18{,}2\;^\circ\mathrm{C}.

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