Use a regra da cadeia para encontrar cada derivada.
, se
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado
. - Também são dadas as relações entre
e : e . - O que pedem: encontrar
(derivada de em relação a ) usando as informações acima.
Passo 2
Relembrando as regras de diferenciação que vamos usar (com explicação simples):
- Regra do produto: para duas funções dependentes de
, e ,
Isto significa: derivative do primeiro vezes o segundo + primeiro vezes derivative do segundo.
- Regra da cadeia: se
, então
Isto significa: deriva-se a função externa
avaliada na interna
e multiplica-se pela derivada da função interna
.
- Derivadas básicas:
Aqui
é o argumento da função trigonométrica; se o argumento for uma função de
, aplica-se a regra da cadeia.
Passo 3
Calcular as derivadas de
e
em relação a
(são as derivadas das funções internas):
Passo 4
Derivar o primeiro termo
usando a regra do produto:
- Tome
e . Então
- Aplicando a regra da cadeia em
:
- Substituindo
e :
Passo 5
Derivar o segundo termo
usando a regra da cadeia:
- Seja
com . Então
- E
. - Portanto
Passo 6
Somar as contribuições dos dois termos para obter
. Juntando os resultados dos Passos 4 e 5:
Agora substituir
e
(essas são as relações dadas no enunciado):
Finalmente substituir
na parcela do meio:
Que simplifica para