Use a regra da cadeia para encontrar cada derivada.
\frac{d w}{d x}, se w=u \operatorname{sen} v+\cos (u-v), \quad u=x^{2}, v=x^{3}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado w = u \sin v + \cos(u-v).
  • Também são dadas as relações entre u,v e x: u = x^{2} e v = x^{3}.
  • O que pedem: encontrar \dfrac{dw}{dx} (derivada de w em relação a x) usando as informações acima.

Passo 2

Relembrando as regras de diferenciação que vamos usar (com explicação simples):
  • Regra do produto: para duas funções dependentes de x, A(x) e B(x),
\frac{d}{dx}\big(A(x)B(x)\big)=A'(x)B(x)+A(x)B'(x).
Isto significa: derivative do primeiro vezes o segundo + primeiro vezes derivative do segundo.
  • Regra da cadeia: se F(x)=f(g(x)), então
\frac{dF}{dx}=f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).
Isto significa: deriva-se a função externa f avaliada na interna g(x) e multiplica-se pela derivada da função interna g(x).
  • Derivadas básicas:
\frac{d}{du}\sin u=\cos u,\qquad \frac{d}{du}\cos u=-\sin u.
Aqui u é o argumento da função trigonométrica; se o argumento for uma função de x, aplica-se a regra da cadeia.

Passo 3

Calcular as derivadas de u e v em relação a x (são as derivadas das funções internas):
\frac{du}{dx}=\frac{d}{dx}\big(x^{2}\big)=2x, \qquad \frac{dv}{dx}=\frac{d}{dx}\big(x^{3}\big)=3x^{2}.

Passo 4

Derivar o primeiro termo u\sin v usando a regra do produto:
  • Tome A(x)=u e B(x)=\sin v. Então
\frac{d}{dx}\big(u\sin v\big)=\frac{du}{dx}\sin v + u\cdot\frac{d}{dx}\big(\sin v\big).
  • Aplicando a regra da cadeia em \sin v:
\frac{d}{dx}\big(\sin v\big)=\cos v\cdot\frac{dv}{dx}.
  • Substituindo \dfrac{du}{dx}=2x e \dfrac{dv}{dx}=3x^{2}:
\frac{d}{dx}\big(u\sin v\big)=2x\sin v + u\cdot\cos v\cdot 3x^{2}.

Passo 5

Derivar o segundo termo \cos(u-v) usando a regra da cadeia:
  • Seja f(t)=\cos t com t=u-v. Então
\frac{d}{dx}\cos(u-v)= -\sin(u-v)\cdot\frac{d}{dx}(u-v).
  • E \dfrac{d}{dx}(u-v)=\dfrac{du}{dx}-\dfrac{dv}{dx}=2x-3x^{2}.
  • Portanto
\frac{d}{dx}\cos(u-v) = -\sin(u-v)\,(2x-3x^{2}).

Passo 6

Somar as contribuições dos dois termos para obter \dfrac{dw}{dx}. Juntando os resultados dos Passos 4 e 5:
\frac{dw}{dx}= \big(2x\sin v + u\cdot\cos v\cdot 3x^{2}\big) \;+\; \big(-\sin(u-v)\,(2x-3x^{2})\big).
Agora substituir u=x^{2} e v=x^{3} (essas são as relações dadas no enunciado):
\frac{dw}{dx}=2x\sin\big(x^{3}\big)+3x^{2}\,u\cos\big(x^{3}\big)-\big(2x-3x^{2}\big)\sin\big(x^{2}-x^{3}\big).
Finalmente substituir u=x^{2} na parcela do meio:
\frac{dw}{dx}=2x\sin\big(x^{3}\big)+3x^{2}\cdot x^{2}\cos\big(x^{3}\big)-\big(2x-3x^{2}\big)\sin\big(x^{2}-x^{3}\big).
Que simplifica para
\frac{dw}{dx}=2x\sin\big(x^{3}\big)+3x^{4}\cos\big(x^{3}\big)-\big(2x-3x^{2}\big)\sin\big(x^{2}-x^{3}\big).

Resposta

\frac{dw}{dx}=2x\sin\big(x^{3}\big)+3x^{4}\cos\big(x^{3}\big)-\big(2x-3x^{2}\big)\sin\big(x^{2}-x^{3}\big)

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