Quando o dinheiro é gasto em produtos e serviços, aqueles que o recebem também gastam uma parte dele. As pessoas que recebem parte do dinheiro gasto duas vezes gastarão uma parte, e assim por diante. Os economistas chamam essa reação em cadeia de efeito multiplicador. Em uma comunidade hipotética isolada, o governo local começa o processo com gastando
dólares. Suponha que cada destinatário de dinheiro gasto gaste
e guarde
do dinheiro que ele ou ela recebe. Os valores
e
são denominados propensão marginal a consumir e propensão marginal a economizar e, é claro,
.
Seja
o gasto total que foi gerado depois de
transações. Encontre uma equação para
.
Seja
Passo 1
O enunciado trata do efeito multiplicador: o governo injeta
dólares na economia, e cada pessoa que recebe gasta uma fração
e poupa uma fração
, com
. Queremos achar o gasto total acumulado após
transações, que chamamos de
.
Passo 2
Na primeira transação o gasto é exatamente o valor inicial do governo:
Na segunda transação, os recipientes daquele gasto vão gastar uma fração
do que receberam, logo
Passo 3
De modo análogo, na terceira transação o gasto será
vezes o gasto anterior, ou seja
e assim por diante. Em geral, na
-ésima transação o gasto é
.
Passo 4
O gasto total acumulado até a
-ésima transação é a soma dos gastos de cada rodada, isto é
Passo 5
Como
é uma soma geométrica, usamos a fórmula
Substituindo em
obtemos
E como
, podemos escrever também