Quando o dinheiro é gasto em produtos e serviços, aqueles que o recebem também gastam uma parte dele. As pessoas que recebem parte do dinheiro gasto duas vezes gastarão uma parte, e assim por diante. Os economistas chamam essa reação em cadeia de efeito multiplicador. Em uma comunidade hipotética isolada, o governo local começa o processo com gastando D dólares. Suponha que cada destinatário de dinheiro gasto gaste 100 c % e guarde 100 s % do dinheiro que ele ou ela recebe. Os valores c e s são denominados propensão marginal a consumir e propensão marginal a economizar e, é claro, c+s=1.
Seja Sn o gasto total que foi gerado depois de n transações. Encontre uma equação para Sn.

Passo 1

O enunciado trata do efeito multiplicador: o governo injeta ,D dólares na economia, e cada pessoa que recebe gasta uma fração c e poupa uma fração s, com c+s=1. Queremos achar o gasto total acumulado após n transações, que chamamos de Sn.

Passo 2

Na primeira transação o gasto é exatamente o valor inicial do governo:
gasto0 = D
Na segunda transação, os recipientes daquele gasto vão gastar uma fração c do que receberam, logo
gasto1 = cD

Passo 3

De modo análogo, na terceira transação o gasto será c vezes o gasto anterior, ou seja
gasto2 = c,(cD)=c^2D,
e assim por diante. Em geral, na k-ésima transação o gasto é c^kD.

Passo 4

O gasto total acumulado até a n-ésima transação é a soma dos gastos de cada rodada, isto é
Sn = D + cD + c^2D + cdots + c^nD = Dsumk=0^nc^k

Passo 5

Como sumk=0^nc^k é uma soma geométrica, usamos a fórmula
sumk=0^nc^k = 1-c^,n+11-c
Substituindo em Sn obtemos
Sn = D ,1-c^,n+11-c
E como 1-c=s, podemos escrever também
Sn = Ds,l(1-c^,n+1r)

Resposta

Sn = Dsumk=0^nc^k ou Sn = D,1-c^,n+11-c

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