Um dipolo magnético com um momento dipolar \bar{\mu}=(2 \hat{\imath}-3 \hat{\jmath}+4 \hat{k}) A m^{2} está submetido a um campo magnético dado por \overline{\mathrm{B}}=(-\hat{\imath}+4 \hat{\jmath}) \cdot 10^{-6} T. Qual a energia potencial do dipolo nesta situação? Qual o ângulo entre \bar{\mu} \mathrm{e} \overline{\mathrm{B}} ?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas.
Dados:
\bar{\mu}=(2\hat{\imath}-3\hat{\jmath}+4\hat{k})\\ \mathrm{A\,m^{2}}
\overline{B}=(-\hat{\imath}+4\hat{\jmath})\cdot 10^{-6}\\ \mathrm{T}
Perguntas:
  1. Qual a energia potencial do dipolo nessa situação?
  2. Qual o ângulo entre \bar{\mu} e \overline{B}?

Passo 2

Fórmula e conceitos que vamos usar (explicadinho):
  • A energia potencial de um dipolo magnético num campo é dada por
U = -\bar{\mu}\cdot\overline{B}.
Aqui \bar{\mu} é o momento magnético (unidade \mathrm{A\,m^{2}}), \overline{B} é o campo magnético (unidade \mathrm{T}) e o produto escalar \bar{\mu}\cdot\overline{B} tem unidade de energia ( \mathrm{J}).
  • O produto escalar entre vetores em componentes é
\bar{a}\cdot\bar{b}=a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z.
  • O ângulo \theta entre dois vetores satisfaz
\cos\theta=\frac{\bar{\mu}\cdot\overline{B}}{|\bar{\mu}||\overline{B}|},
onde |\bar{v}|=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2} é o comprimento do vetor.

Passo 3

Calcular o produto escalar \bar{\mu}\cdot\overline{B} usando as componentes dadas. Primeiro, extraio as componentes (observe que peguei o fator 10^{-6} do campo da imagem/enunciado):
\bar{\mu}=(2,\,-3,\,4)
\overline{B}=(-1,\,4,\,0)\times 10^{-6}\\ \mathrm{T}.
Agora o produto escalar em componentes:
\bar{\mu}\cdot\overline{B}=2\cdot(-1)+(-3)\cdot 4 + 4\cdot 0 = -2 -12 +0 = -14.
Incluindo o fator 10^{-6} do campo,
\bar{\mu}\cdot\overline{B} = -14\times 10^{-6}\\ \mathrm{(A\,m^{2} \cdot T)}.
Observação: \mathrm{A\,m^{2}\cdot T} é equivalente a \mathrm{J} (energia).

Passo 4

Calcular a energia potencial usando U=-\bar{\mu}\cdot\overline{B}:
U = -\big(-14\times 10^{-6}\big)\\ \mathrm{J} = 14\times 10^{-6}\\ \mathrm{J}.
Escrevendo em notação convencional:
U = 1,4\times 10^{-5}\\ \mathrm{J}.
(Sinta-se bem: o sinal positivo indica que o momento está mais alinhado de forma a aumentar a energia, ou seja, tendência de anti-alinhamento com o campo.)

Passo 5

Agora vamos achar o ângulo \theta. Primeiro calculamos as normas (módulos) dos vetores.
|\bar{\mu}|=\sqrt{2^{2}+(-3)^{2}+4^{2}}=\sqrt{4+9+16}=\sqrt{29}.
|\overline{B}|=\sqrt{(-1)^{2}+4^{2}+0^{2}}\times 10^{-6}=\sqrt{17}\times 10^{-6}.

Passo 6

Usamos a fórmula do cosseno:
\cos\theta=\frac{\bar{\mu}\cdot\overline{B}}{|\bar{\mu}||\overline{B}|} =\frac{-14\times 10^{-6}}{\sqrt{29}\,\big(\sqrt{17}\times 10^{-6}\big)}.
O fator 10^{-6} cancela:
\cos\theta = \frac{-14}{\sqrt{29}\sqrt{17}} = \frac{-14}{\sqrt{493}}.
Avaliação numérica: \sqrt{493}\approx 22,204, então
\cos\theta \approx -0,6300.
Finalmente,
\theta = \operatorname{arccos}(-0,6300) \approx 129,0^\circ.

Passo 7

Cheque rápido e interpretação: \theta>90^\circ faz sentido porque \bar{\mu}\cdot\overline{B} deu negativo (produto escalar negativo significa que há componente oposta), e por isso a energia U ficou positiva 1,4\times10^{-5}\\ \mathrm{J}.

Resposta

U = 1,4\times 10^{-5}\\ \mathrm{J}
\theta \approx 129,0^\circ

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