Verifique se as sequências a seguir são convergentes e, em caso afirmativo, determine o seu limite. (Dica: Use técnicas algébricas, como divisão pelo termo de maior grau ou fator dominante.)
Passo 1
O enunciado nos dá a sequência \r
e pede para verificar se ela converge e, em caso afirmativo, achar o limite. O conteúdo aqui é análise de sequências e uso de técnicas algébricas (divisão pelo termo de maior grau) para encontrar o comportamento assintótico.
Passo 2
Identificamos que o termo de maior grau em numerador e denominador é
. Vamos dividir tudo por
:\r
[
\frac{n^{2} - 2\sqrt{n} + 1}{1 - n - 3n^{2}}
\frac{\displaystyle \frac{n{2}}{n{2}} ;-;2,\frac{\sqrt{n}}{n{2}};+;\frac{1}{n{2}}}
{\displaystyle \frac{1}{n{2}};-;\frac{n}{n{2}};-;\frac{3n{2}}{n{2}}}
\frac{1 ;-;2,n{-\tfrac{3}{2}};+;n{-2}}
{n{-2};-;n{-1};-;3}]
{n{-2};-;n{-1};-;3}]
Passo 3
Agora avaliamos o limite quando
. Como \r
, \r
e
, ficamos com\r
Portanto o limite existe e é finito, logo a sequência converge.
Resposta
A sequência converge e \r