Verifique se as sequências a seguir são convergentes e, em caso afirmativo, determine o seu limite. (Dica: Use técnicas algébricas, como divisão pelo termo de maior grau ou fator dominante.)
an=n^2-2 raizn+11-n-3 n^2

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência \r
an = n^2 - 2raizn + 11 - n - 3n^2 \r
e pede para verificar se ela converge e, em caso afirmativo, achar o limite. O conteúdo aqui é análise de sequências e uso de técnicas algébricas (divisão pelo termo de maior grau) para encontrar o comportamento assintótico.

Passo 2

Identificamos que o termo de maior grau em numerador e denominador é . Vamos dividir tudo por :\r
[
\frac{n^{2} - 2\sqrt{n} + 1}{1 - n - 3n^{2}}

\frac{\displaystyle \frac{n{2}}{n{2}} ;-;2,\frac{\sqrt{n}}{n{2}};+;\frac{1}{n{2}}}
{\displaystyle \frac{1}{n{2}};-;\frac{n}{n{2}};-;\frac{3n{2}}{n{2}}}

\frac{1 ;-;2,n{-\tfrac{3}{2}};+;n{-2}}
{n{-2};-;n{-1};-;3}]

Passo 3

Agora avaliamos o limite quando ntoinfty. Como \r
limntoinftyn^-tfrac32=0, \r
limntoinftyn^-1=0 e limntoinftyn^-2=0, ficamos com\r
limntoinftyan = 1 - 2cdot0 + 00 - 0 - 3 = 1-3 = -tfrac13 \r
Portanto o limite existe e é finito, logo a sequência converge.

Resposta

A sequência converge e \r
limntoinftyan = -tfrac13

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