Directional derivatives and scalar components How is the derivative of a differentiable function
at a point
in the direction of a unit vector
related to the scalar component of
in the direction of
? Give reasons for your answer.
Passo 1
O enunciado pede para relacionar a derivada direcional de uma função diferenciável
num ponto
na direção de um vetor unitário
com a componente escalar de
nessa mesma direção. O conteúdo principal aqui é o cálculo de derivadas direcionais via gradiente e a definição de componente escalar de um vetor.
Passo 2
Definimos a derivada direcional de
em
na direção de
como o limite
Para trabalhar com regras de derivação, consideramos a curva parametrizada
de modo que
restrita a essa curva é
. Então
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia à função composta
, temos
e como
é constante, obtemos em
Passo 4
Por definição, a componente escalar de um vetor
na direção de um vetor unitário
é
Tomando
, vemos que
é exatamente a componente escalar do gradiente na direção de
.
Resposta
A derivada direcional de
em
na direção de
é
ou seja, coincide com a componente escalar de
na direção de
.