Directional derivatives and scalar components How is the derivative of a differentiable function f(x, y, z) at a point P_{0} in the direction of a unit vector \mathbf{u} related to the scalar component of (\nabla f)_{P_{0}} in the direction of \mathbf{u} ? Give reasons for your answer.

Passo 1

O enunciado pede para relacionar a derivada direcional de uma função diferenciável f(x,y,z) num ponto P_{0} na direção de um vetor unitário \mathbf{u} com a componente escalar de \bigl(\nabla f\bigr)_{P_{0}} nessa mesma direção. O conteúdo principal aqui é o cálculo de derivadas direcionais via gradiente e a definição de componente escalar de um vetor.

Passo 2

Definimos a derivada direcional de f em P_{0} na direção de \mathbf{u} como o limite
D_{\mathbf{u}}f(P_{0}) =\lim_{h\to0}\frac{f\bigl(P_{0}+h\,\mathbf{u}\bigr)-f(P_{0})}{h}.
Para trabalhar com regras de derivação, consideramos a curva parametrizada
\mathbf{r}(t)=P_{0}+t\,\mathbf{u},
de modo que f restrita a essa curva é g(t)=f\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr). Então
D_{\mathbf{u}}f(P_{0})=g'(0).

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia à função composta g(t)=f\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr), temos
g'(t) =\nabla f\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)\cdot \mathbf{r}'(t)
e como \mathbf{r}'(t)=\mathbf{u} é constante, obtemos em t=0
D_{\mathbf{u}}f(P_{0}) =\nabla f(P_{0})\cdot \mathbf{u}.

Passo 4

Por definição, a componente escalar de um vetor \mathbf{v} na direção de um vetor unitário \mathbf{u} é
\text{comp}_{\mathbf{u}}(\mathbf{v}) =\mathbf{v}\cdot \mathbf{u}.
Tomando \mathbf{v}=\nabla f(P_{0}), vemos que
\nabla f(P_{0})\cdot \mathbf{u}
é exatamente a componente escalar do gradiente na direção de \mathbf{u}.

Resposta

A derivada direcional de f em P_{0} na direção de \mathbf{u} é
D_{\mathbf{u}}f(P_{0})=\nabla f(P_{0})\cdot \mathbf{u},
ou seja, coincide com a componente escalar de \nabla f(P_{0}) na direção de \mathbf{u}.

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