A máquina A responde por 60% da produção e a máquina B pelo restante da produção de uma empresa. Os índices de peças defeituosas na produção destas máquinas são de
e 6% respectivamente. Se uma peça defeituosa foi selecionada, qual a probabilidade de que tenha sido produzida pela máquina B ?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas máquinas, A e B, que produzem peças em uma fábrica. A máquina A é responsável por 60% da produção total, e a máquina B pelos 40% restantes. Além disso, sabemos que a máquina A tem um índice de defeitos de 4% e a máquina B de 6%. A pergunta é: se a gente pega uma peça defeituosa, qual a chance dela ter sido produzida pela máquina B?
Vamos precisar usar o Teorema de Bayes, que nos ajuda a encontrar probabilidades condicionais. Isso significa que, dado um evento já ocorrido (a peça ser defeituosa), queremos saber a probabilidade de outro evento (a peça ter sido produzida pela máquina B).
Passo 2
Primeiro, vamos definir as probabilidades que já conhecemos:
- Probabilidade da peça ser produzida pela máquina A, $ P(A) = 60% = 0,6 $
- Probabilidade da peça ser produzida pela máquina B, $ P(B) = 40% = 0,4 $
- Probabilidade de uma peça ser defeituosa dada que foi produzida pela máquina A, $ P(D|A) = 4% = 0,04 $
- Probabilidade de uma peça ser defeituosa dada que foi produzida pela máquina B, $ P(D|B) = 6% = 0,06 $
Passo 3
Agora, queremos encontrar a probabilidade de que, sendo uma peça defeituosa, ela tenha sido produzida pela máquina B. Ou seja, $ P(B|D) $.
O Teorema de Bayes nos diz que:
Onde $ P(D) $ é a probabilidade total de uma peça ser defeituosa, independente de qual máquina a produziu.
Passo 4
Vamos calcular $ P(D) $, a probabilidade total de uma peça ser defeituosa. Isso pode ser feito somando as probabilidades de uma peça defeituosa ser produzida pela máquina A e pela máquina B:
Substituindo os valores que conhecemos:
Então, a probabilidade total de uma peça ser defeituosa é de 4,8%.
Passo 5
Agora, voltando ao Teorema de Bayes para encontrar $ P(B|D) $:
Resposta
A probabilidade de que uma peça defeituosa tenha sido produzida pela máquina B é de 50%.