A máquina A responde por 60% da produção e a máquina B pelo restante da produção de uma empresa. Os índices de peças defeituosas na produção destas máquinas são de 4 % e 6% respectivamente. Se uma peça defeituosa foi selecionada, qual a probabilidade de que tenha sido produzida pela máquina B ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas máquinas, A e B, que produzem peças em uma fábrica. A máquina A é responsável por 60% da produção total, e a máquina B pelos 40% restantes. Além disso, sabemos que a máquina A tem um índice de defeitos de 4% e a máquina B de 6%. A pergunta é: se a gente pega uma peça defeituosa, qual a chance dela ter sido produzida pela máquina B?
Vamos precisar usar o Teorema de Bayes, que nos ajuda a encontrar probabilidades condicionais. Isso significa que, dado um evento já ocorrido (a peça ser defeituosa), queremos saber a probabilidade de outro evento (a peça ter sido produzida pela máquina B).

Passo 2

Primeiro, vamos definir as probabilidades que já conhecemos:
  • Probabilidade da peça ser produzida pela máquina A, $ P(A) = 60% = 0,6 $
  • Probabilidade da peça ser produzida pela máquina B, $ P(B) = 40% = 0,4 $
  • Probabilidade de uma peça ser defeituosa dada que foi produzida pela máquina A, $ P(D|A) = 4% = 0,04 $
  • Probabilidade de uma peça ser defeituosa dada que foi produzida pela máquina B, $ P(D|B) = 6% = 0,06 $

Passo 3

Agora, queremos encontrar a probabilidade de que, sendo uma peça defeituosa, ela tenha sido produzida pela máquina B. Ou seja, $ P(B|D) $.
O Teorema de Bayes nos diz que:
P(B|D)
Onde $ P(D) $ é a probabilidade total de uma peça ser defeituosa, independente de qual máquina a produziu.

Passo 4

Vamos calcular $ P(D) $, a probabilidade total de uma peça ser defeituosa. Isso pode ser feito somando as probabilidades de uma peça defeituosa ser produzida pela máquina A e pela máquina B:
P(D)
Substituindo os valores que conhecemos:
P(D) = P(D|A) cdot P(A) + P(D|B) cdot P(B)
P(D) = 0,04 cdot 0,6 + 0,06 cdot 0,4
Então, a probabilidade total de uma peça ser defeituosa é de 4,8%.

Passo 5

Agora, voltando ao Teorema de Bayes para encontrar $ P(B|D) $:
P(B|D)

Resposta

A probabilidade de que uma peça defeituosa tenha sido produzida pela máquina B é de 50%.

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