Os diretores de uma escola desejam cercar com tela de alambrado o espaço em volta de uma quadra retangular. Tendo recebido 200 metros de tela, os diretores desejam saber quais devem ser as dimensões do terreno a cercar com tela para que a área seja a maior possível.
Passo 1
O enunciado pede que, com
metros de tela (perímetro fixo), a gente encontre as dimensões de um terreno retangular que maximizem sua área. O conteúdo é otimização de funções de uma variável, usando derivadas para achar máximo.
Passo 2
Definimos as larguras do retângulo como
e
em metros. Como o perímetro é fixo em
metros, temos
Passo 3
Isolamos
em função de
. Dividindo por 2 e resolvendo,
Passo 4
A área do retângulo em função de
é
Passo 5
Para maximizar
, calculamos a derivada e igualamos a zero:
Como a segunda derivada é
esse ponto é um máximo.
Passo 6
Substituindo
em
, obtemos
Logo, o retângulo é na verdade um quadrado de lado
metros.
Resposta
As dimensões que maximizam a área são
m por
m.