Os diretores de uma escola desejam cercar com tela de alambrado o espaço em volta de uma quadra retangular. Tendo recebido 200 metros de tela, os diretores desejam saber quais devem ser as dimensões do terreno a cercar com tela para que a área seja a maior possível.

Passo 1

O enunciado pede que, com 200 metros de tela (perímetro fixo), a gente encontre as dimensões de um terreno retangular que maximizem sua área. O conteúdo é otimização de funções de uma variável, usando derivadas para achar máximo.

Passo 2

Definimos as larguras do retângulo como \,x e \,y em metros. Como o perímetro é fixo em 200 metros, temos
2x + 2y = 200.

Passo 3

Isolamos y em função de x. Dividindo por 2 e resolvendo,
x + y = 100 \quad\Longrightarrow\quad y = 100 - x.

Passo 4

A área do retângulo em função de x é
A(x) = x \cdot y = x\,(100 - x) = 100x - x^2.

Passo 5

Para maximizar A(x), calculamos a derivada e igualamos a zero:
A'(x) = 100 - 2x,
100 - 2x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 50.
Como a segunda derivada é
A''(x) = -2 < 0,
esse ponto é um máximo.

Passo 6

Substituindo x = 50 em y = 100 - x, obtemos
y = 100 - 50 = 50.
Logo, o retângulo é na verdade um quadrado de lado 50 metros.

Resposta

As dimensões que maximizam a área são 50 m por 50 m.

Exercícios relacionados