Encontre todos os números reais x tais que:
|2 x-1|=\left|x^{2}+1\right|

Passo 1

O enunciado pede resolver |2x-1| = |x^2+1|. Trata-se de uma equação com valor absoluto. Vamos usar a definição de valor absoluto por casos e observar que x^2+1 é sempre positivo.

Passo 2

Como \,x^2+1>0 para todo x\in\mathbb{R}, temos
|x^2+1| = x^2+1.
Logo a equação vira
|2x-1| = x^2+1.

Passo 3

Analisamos dois casos para o termo 2x-1:
Caso 1: 2x-1\ge0, ou seja x\ge\tfrac12.
Neste intervalo
|2x-1| = 2x-1,
então
2x-1 = x^2+1 \quad\Longrightarrow\quad x^2 - 2x + 2 = 0.
O discriminante é
\Delta = (-2)^2 - 4\cdot1\cdot2 = 4 - 8 = -4 < 0,
logo não há solução real quando x\ge\tfrac12.

Passo 4

Caso 2: 2x-1<0, ou seja x<\tfrac12.
Aqui
|2x-1| = 1 - 2x,
e a equação fica
1 - 2x = x^2 + 1 \quad\Longrightarrow\quad x^2 + 2x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x(x+2) = 0.
Assim
x = 0 \quad\text{ou}\quad x = -2.
Ambas satisfazem x<\tfrac12, portanto são soluções válidas.

Resposta

As soluções reais são
x = 0,\quad x = -2.

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