Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral II
Prof ^a Andréia Malacarne

7^ a LISTA DE EXERCÍCIOS

Exercício 1 - Determine todas as derivadas parciais (de 1^ a ordem) da função:
h(x, y)=4 x e^y+x^3.

Passo 1

Vamos lá! A gente precisa encontrar todas as derivadas parciais de primeira ordem da função h(x, y) = 4x e^y + x^3 . Isso faz parte da matéria de Cálculo Diferencial e Integral II. Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais, que são as taxas de variação da função em relação a uma das variáveis, mantendo a outra constante.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de h em relação a x , ou seja, partial hpartial x .
Quando tiramos a derivada parcial em relação a x , tratamos y como uma constante. Então, vamos derivar cada termo da função:
  1. Para o termo 4x e^y :
    • A constante 4 e^y multiplica x .
    • A derivada de x em relação a x é 1.
    • Então, a derivada desse termo é 4 e^y .
  2. Para o termo x^3 :
    • A derivada de x^3 em relação a x é 3x^2 .
Somando esses resultados, temos:
partial hpartial x = 4 e^y + 3x^2

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de h em relação a y , ou seja, partial hpartial y .
Quando tiramos a derivada parcial em relação a y , tratamos x como uma constante. Vamos derivar cada termo da função:
  1. Para o termo 4x e^y :
    • A constante 4x multiplica e^y .
    • A derivada de e^y em relação a y é e^y .
    • Então, a derivada desse termo é 4x e^y .
  2. Para o termo x^3 :
    • Esse termo é uma constante em relação a y , então a derivada é 0.
Somando esses resultados, temos:
partial hpartial y = 4x e^y

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
partial hpartial x = 4 e^y + 3x^2
partial hpartial y = 4x e^y

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