(FEI-SP) O quociente da divisão do polinômio p(x)=2 x^3-9 x^2+7 x+6 pelo polinômio q(x)= =2 x+1 é:
a) x^2-5 x-6
b) x^2+5 x-6
c) x^2-5 x+6
d) -x^2+5 x+6
e) -x^2-5 x-6

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para dividirmos o polinômio p(x) = 2x^3 - 9x^2 + 7x + 6 pelo polinômio q(x) = 2x + 1. Isso entra na matéria de Divisão de Polinômios, mais especificamente usando a Divisão Polinomial. Para resolver, vamos precisar entender como dividir um polinômio de grau superior por um de grau menor, encontrando o quociente.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar nossos polinômios. Escrevemos o dividendo, que é p(x) = 2x^3 - 9x^2 + 7x + 6, e o divisor, que é q(x) = 2x + 1. Nosso objetivo é encontrar um polinômio quociente Q(x) tal que:
p(x) = q(x) times Q(x) + R(x)
Onde R(x) é o resto da divisão.

Passo 3

Vamos iniciar a divisão. Primeiro, olhamos para o primeiro termo do dividendo ( 2x^3) e do divisor ( 2x). Dividimos 2x^3 por 2x:
2x^32x = x^2
Esse x^2 será o primeiro termo do nosso quociente Q(x).

Passo 4

Agora, multiplicamos o divisor q(x) pelo termo que encontramos ( x^2):
(2x + 1) times x^2 = 2x^3 + x^2
Subtraímos esse resultado do dividendo original:
(2x^3 - 9x^2 + 7x + 6) - (2x^3 + x^2) = -10x^2 + 7x + 6

Passo 5

Agora, repetimos o processo com o novo polinômio resultante ( -10x^2 + 7x + 6). Dividimos o primeiro termo desse polinômio ( -10x^2) pelo primeiro termo do divisor ( 2x):
-10x^22x = -5x
Esse -5x é o próximo termo do quociente.

Passo 6

Multiplicamos o divisor pelo novo termo encontrado ( -5x):
(2x + 1) times (-5x) = -10x^2 -5x
Subtraímos esse resultado do polinômio anterior:
(-10x^2 + 7x + 6) - (-10x^2 -5x) = 12x + 6

Passo 7

Continuamos com o polinômio restante ( 12x + 6). Dividimos o primeiro termo ( 12x) pelo primeiro termo do divisor ( 2x):
12x2x = 6
Esse 6 será o último termo do nosso quociente.

Passo 8

Multiplicamos o divisor pelo último termo encontrado ( 6):
(2x + 1) times 6 = 12x + 6
Subtraímos esse resultado do polinômio anterior:
(12x + 6) - (12x + 6) = 0
Como o resto deu 0, concluímos que a divisão foi exata.

Resposta

O quociente da divisão é x^2 - 5x + 6. Portanto, a resposta correta é a letra c) x^2-5 x+6.

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