(UE-CE) Se o polinômio P(x)=x^4+alpha x^3-5 x^2+2 x+beta é divisível por x^2+1, então betaalpha é igual a
a) 3
b) -3
c) 52
d) -52

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir o valor de betaalpha no polinômio P(x) = x^4 + alpha x^3 - 5x^2 + 2x + beta, sabendo que ele é divisível por x^2 + 1. Aqui, estamos lidando com divisibilidade de polinômios e vamos usar o Teorema do Resto para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que P(x) é divisível por x^2 + 1. Se um polinômio A(x) é divisível por outro polinômio B(x), então o resto da divisão de A(x) por B(x) é zero. Ou seja, P(x) dividido por x^2 + 1 tem resto zero.

Passo 3

Agora, para aplicar o Teorema do Resto, precisamos encontrar as raízes de x^2 + 1 = 0. Resolvendo essa equação:
x^2 + 1 = 0 implies x^2 = -1 implies x = pm i
Então, as raízes são x = i e x = -i.

Passo 4

De acordo com o Teorema do Resto, se x = i e x = -i são raízes de P(x), então:
P(i) = 0 e P(-i) = 0
Vamos calcular P(i) e P(-i).

Passo 5

Calculando P(i):
P(i) = (i)^4 + alpha (i)^3 - 5(i)^2 + 2i + beta
Sabemos que:
i^2 = -1, i^3 = -i, i^4 = 1
Substituindo:
P(i) = 1 + alpha (-i) - 5(-1) + 2i + beta = 1 - alpha i + 5 + 2i + beta
Juntando os termos reais e imaginários:
P(i) = (1 + 5 + beta) + (-alpha i + 2i) = (6 + beta) + i(2 - alpha)
Como P(i) = 0, isso implica que:
6 + beta = 0 e 2 - alpha = 0

Passo 6

Resolvendo as equações:
6 + beta = 0 implies beta = -6
2 - alpha = 0 implies alpha = 2

Passo 7

Agora, queremos encontrar betaalpha:
betaalpha = -62 = -3

Resposta

-3

Exercícios relacionados