(UE-CE) Se os polinômios P(x)=|cccx & n & m 2 & n x^2 & x 1 & 1 & 1| e Q(x)=x^3-4 x^2+x+4 são idênticos, então o valor de mn é:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5

Passo 1

O enunciado dá o polinômio P(x) definido pelo determinante da matriz
x & n & m 2 & n x^2 & x 1 & 1 & 1
e diz que esse P(x) é idêntico a
Q(x)=x^3-4x^2+x+4
O conteúdo aqui é usar expansão de determinante para obter P(x) em função de n e m e depois comparar coeficientes.

Passo 2

Vamos expandir P(x) pela primeira linha (regra de Laplace):
P(x) = xcdotdetn x^2&x1&1 - ncdotdet2&x1&1 + mcdotdet2&n x^21&1
Cada menor vale:
detn x^2&x1&1 = n x^2cdot1 - xcdot1 = n x^2 - x,
det2&x1&1 = 2cdot1 - xcdot1 = 2 - x,
det2&n x^21&1 = 2cdot1 - n x^2cdot1 = 2 - n x^2

Passo 3

Substituindo esses valores em P(x), obtemos
P(x) = x,(n x^2 - x) - n,(2 - x) + m,(2 - n x^2)
Desenvolvendo:
P(x) = n x^3 - x^2 -2n + n x +2m - m n x^2
Agrupando termos segundo potências de x:
P(x) = underbracenx^3;x^3 + underbrace(-1 - m n)x^2;x^2 + underbracenx;x + underbrace(2m - 2n)constante

Passo 4

Como
Da primeira equação segue leva a .
A quarta torna-se , compatível.

Passo 5

Concluímos que n=1 e m=3. Portanto,
mn=31=3

Resposta

b) 3

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