(a) Se os prótons fossem partículas macroscópicas, o que aconteceria com o feixe ao se aproximar do degrau de potencial? Justifique.
(b) Calcule a previsão quântica para o número de prótons que é transmitido ou refletido pelo potencial degrau.
© Esses números encontrados no item b) mudariam se no lugar de prótons tivéssemos elétrons? Dica: A partir da definição de R, mostre que esta grandeza independe da massa das partículas. O mesmo vai valer para a transmissão já que T=1-R.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que um feixe de prótons incide num “degrau” de potencial de altura . Pergunta (a) como seria o comportamento se os prótons fossem partículas grandes (macroscópicas); (b) qual a previsão quântica para quantos prótons são refletidos e transmitidos; © se trocássemos prótons por elétrons, mudaria alguma coisa? Isso é mecânica quântica básica de espalhamento num degrau de potencial. Para resolver a gente vai usar:
  • A equação de Schrödinger em regiões de potencial constante;
  • As condições de contorno (continuidade da onda e da sua derivada) no ponto do degrau;
  • As expressões de coeficiente de reflexão e transmissão .

Passo 2

(a) Se fosse “macroscópico”, tipo bolinhas de bilhar, a gente aplicaria a física clássica:
  • Se a energia cinética do próton fosse menor que , ele não atravessa, é todo refletido;
  • Se , ele atravessa mas fica mais lento na região de potencial mais alto (ela viraria energia potencial).
    Nada de tunelamento: ou passa integralmente (se tiver energia) ou rebate todo (se não tiver).

Passo 3

(b) Agora a mágica quântica: o próton é uma onda que, ao chegar no degrau, gera ondas refletida e transmitida.
  1. Em A + B = C, k1(A - B) = k2,C (antes do degrau) a solução geral é
    ,
    com .
  2. Em (depois do degrau) a onda transmitida é
    ,
    com (assumindo ).
  3. Impomos continuidade de e em :
  4. Daí calcula-se e e definimos
    ,
    .
Fazendo as contas dá
,
.

Passo 4

© Repara que
e
.
Logo
,
e a massa “cancela” nessa razão. Assim e não dependem de .

Resposta

(a) Classicamente, prótons macroscópicos ou são todos refletidos (se R = l(k1-k2k1+k2r)^2, T = 1 - R, ) ou atravessam perdendo velocidade (se ), sem “meio túnel”.
(b) Na mecânica quântica, as frações refletida e transmitida são
com , .
© Essas fórmulas não mudam se forem elétrons, pois e são independentes da massa da partícula.

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