Em uma região, a densidade de campo elétrico é dada por:
D=2 rho(z+1) cos emptyset arho-rho(z+1) sin emptyset aemptyset+rho^2 cos emptyset az
Determine a densidade de cargas

Passo 1

Beleza! O enunciado diz que a densidade do deslocamento elétrico (campo D) numa região, em coordenadas cilíndricas vec D ;=; 2,rho,(z+1)cosphi; arho ;-;rho,(z+1)sinphi; aphi ;+;rho^2cosphi; az , é
nablacdotvec D ;=;rhov
O que a gente quer é a densidade volumétrica de cargas . Na eletrostática homogênea a gente usa a Lei de Gauss local em forma diferencial:
Então precisaremos calcular a divergência de em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Lembra que, em coordenadas cilíndricas, a divergência de um vetor
nablacdotvec D =1rhopartialpartialrhol(rho,Drhor) +1rhopartial Dphipartialphi +partial Dzpartial z
é
Vamos identificar:
,
,
.

Passo 3

Calcular o primeiro termo:
1rhopartialpartialrhol(rho,Drhor) =1rhopartialpartialrhol[,rhocdot 2rho,(z+1)cosphir] =1rhopartialpartialrhol[2,rho^2,(z+1)cosphir]
Derivando em relação a 1rhol[4,rho,(z+1)cosphir] =4,(z+1)cosphi :
.
Dividindo por :

Passo 4

Agora o segundo termo:
1rhopartial Dphipartialphi =1rhopartialpartialphil[-rho,(z+1)sinphir] =1rhol[-rho,(z+1)cosphir] =-(z+1)cosphi

Passo 5

E por fim o terceiro termo:
partial Dzpartial z =partialpartial zl[rho^2cosphir] =0,
porque não depende de .

Passo 6

Somando tudo para achar nablacdotvec D =4,(z+1)cosphi ;+; l[-(z+1)cosphir] ;+; 0 =3,(z+1)cosphi :

Resposta

boxedrhov = nablacdotvec D = 3,(z+1)cosphi

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