4- Um disco compacto gira, a partir do repouso até 500 rpm em 5.5 s . (a) Qual ẻ a sua aceleraçào angular, supondo que ela seja constante? (b) Quantas voltas o disco gira nesses 5,5 s ? (c) Que distância percorre um objeto de 1,5 \mathrm{~kg} que está a 60 cm do centro do disco durante os 5,5 \mathrm{~s} necessários para chegar a 500 rpm ? (d) Qual é a energia cinética total desse objeto nesse momento?
(e) Quantas voltas sào necessárias para reduzir a velocidade de rotaçào para 100 rpm em 4,0 \mathrm{~s} ?

Passo 1

O enunciado trata de cinemática rotacional com aceleração angular constante. Temos um disco que parte do repouso ( \omega_0=0) e atinge \omega=500 rpm em t=5{,}5 s. Precisaremos: converter rotações por minuto em rad/s, usar
\alpha = \frac{\Delta\omega}{\Delta t},\quad \theta = \omega_0 t + \tfrac12\alpha t^2,\quad s = r\,\theta,\quad K = \tfrac12 m v^2,\quad v = r\,\omega,
e, na parte (e), aplicar o mesmo para desaceleração de 500 rpm a 100 rpm em 4{,}0 s.

Passo 2

Para (a), convertemos \omega=500 rpm em rad/s:
\omega = 500 \times \frac{2\pi}{60}\,\mathrm{rad/s} \approx 52{,}36\\ \mathrm{rad/s}.
Como \omega_0=0, a aceleração é
\alpha = \frac{\omega - \omega_0}{t} = \frac{52{,}36}{5{,}5}\\ \mathrm{rad/s^2} \approx 9{,}52\\ \mathrm{rad/s^2}.

Passo 3

Para (b), o ângulo girado é
\theta = \omega_0 t + \tfrac12\,\alpha\,t^2 = \tfrac12\,(9{,}52)\,(5{,}5)^2\\ \mathrm{rad} \approx 144{,}2\\ \mathrm{rad}.
O número de voltas é
N = \frac{\theta}{2\pi} \approx \frac{144{,}2}{2\pi} \approx 22{,}95\\ \text{voltas}.

Passo 4

Para (c), um objeto de massa m=1{,}5 kg está a r=0{,}60 m do centro, e percorre distância
s = r\,\theta = 0{,}60 \times 144{,}2\\ \mathrm{m} \approx 86{,}5\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Para (d), a velocidade linear final vale
v = r\,\omega = 0{,}60 \times 52{,}36\\ \mathrm{m/s} \approx 31{,}42\\ \mathrm{m/s},
então a energia cinética é
K = \tfrac12\,m\,v^2 = \tfrac12 \times 1{,}5 \times (31{,}42)^2\\ \mathrm{J} \approx 740\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Para (e), reduzimos de \omega_i=500 rpm ( 52{,}36 rad/s) a \omega_f=100 rpm ( 10{,}47 rad/s) em t=4{,}0 s, com
\alpha' = \frac{\omega_f - \omega_i}{t} = \frac{10{,}47 - 52{,}36}{4{,}0} \approx -10{,}47\\ \mathrm{rad/s^2}.
O ângulo girado na frenagem é
\theta' = \frac{\omega_i + \omega_f}{2}\,t = \frac{52{,}36 + 10{,}47}{2}\times 4{,}0 \approx 125{,}66\\ \mathrm{rad},
logo as voltas necessárias são
N' = \frac{\theta'}{2\pi} \approx \frac{125{,}66}{2\pi} \approx 20\\ \text{voltas}.

Resposta

(a) \alpha \approx 9{,}52\\ \mathrm{rad/s^2}.
(b) N \approx 22{,}95 voltas.
(c) s \approx 86{,}5\\ \mathrm{m}.
(d) K \approx 740\\ \mathrm{J}.
(e) N' \approx 20 voltas.

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