Você está em repouso na Terra quando uma espaçonave passa com velocidade igual a 0,990 \mathrm{c} em relação à Terra. Um sinal intermitente muito forte (produzido por um haver pulsante) é emitido pela espaçonave com intervalos de tempo constantes e o tempo de duração de cada pulso medido na espaçonave é igual a 2,20 \times 10^{-6} \mathrm{~s}. a) Qual é a duração de cada pulso em relação a você? b) Um membro da tripulação verifica que o comprimento da espaçonave é igual a 400 m. Qual o comprimento da espaçonave medido por um observador na Terra?

Passo 1

O enunciado trata de dois efeitos da teoria da relatividade restrita: dilatação do tempo e contração de comprimento. A espaçonave se move em relação à Terra com velocidade \,v=0,990\,c.
a) Precisamos usar a fórmula da dilatação do tempo para transformar o intervalo próprio de tempo \Delta\tau (medido na espaçonave) em \Delta t (medido na Terra).
b) Precisamos usar a fórmula da contração de Lorentz para obter o comprimento L medido na Terra a partir do comprimento próprio L_{0}=400\,\mathrm{m}.

Passo 2

Calculamos o fator de Lorentz
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}} =\frac{1}{\sqrt{1-(0,990)^{2}}} =\frac{1}{\sqrt{1-0,9801}} =\frac{1}{\sqrt{0,0199}} \approx 7,09.

Passo 3

Para a dilatação do tempo vale
\Delta t=\gamma\,\Delta\tau,
onde \Delta\tau=2,20\times10^{-6}\,\mathrm{s}. Logo,
\Delta t\approx 7,09\times2,20\times10^{-6}\,\mathrm{s} \approx 1,56\times10^{-5}\,\mathrm{s}.

Passo 4

Para a contração de comprimento vale
L=\frac{L_{0}}{\gamma},
onde L_{0}=400\,\mathrm{m}. Logo,
L\approx \frac{400\,\mathrm{m}}{7,09} \approx 56,4\,\mathrm{m}.

Resposta

a) \Delta t\approx1,56\times10^{-5}\,\mathrm{s}
b) L\approx56,4\,\mathrm{m}

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