4- Um disco compacto gira, a partir do repouso até 600 rpm em 6,5 \mathrm{~s}. (a) Qual é a sua aceleração angular, supondo que seja uma aceleração constante? (b) Quantas voltas o disco gira nesses 6,5 \mathrm{~s} ? (c) Que distância percorre um ponto que está a 5 cm do centro do disco durante os 6,5 \mathrm{~s} necessários para chegar a 600 rpm ? (d) Quantas voltas são necessárias para reduzir a velocidade de rotação para 400 rpm em 10,0 \mathrm{~s} ?

Passo 1

O enunciado trata de cinemática rotacional com aceleração angular constante. Um disco parte do repouso ( \omega_i=0) e atinge 600 rpm em t=6{,}5 s. Usaremos as fórmulas
\omega_f = \omega_i + \alpha\,t
\theta = \omega_i\,t + \tfrac12\,\alpha\,t^2
para (a) achar a aceleração angular \alpha, (b) o número de voltas \theta/(2\pi), (c) a distância s=r\,\theta de um ponto a r=0{,}05 m, e (d) o número de voltas ao reduzir a velocidade de 600 rpm para 400 rpm em 10{,}0 s.

Passo 2

Convertendo 600 rpm em rad/s:
\omega_f = 600\,\frac{\text{rev}}{\min}\times\frac{1\,\min}{60\,\text{s}}\times2\pi\,\frac{\text{rad}}{\text{rev}} = 10\cdot2\pi \approx 62{,}83\;\text{rad/s}.
Como \omega_i=0,
\alpha = \frac{\omega_f-\omega_i}{t} = \frac{62{,}83}{6{,}5} \approx 9{,}67\;\text{rad/s}^2.

Passo 3

O deslocamento angular durante a aceleração é
\theta = \tfrac12\,\alpha\,t^2 = \tfrac12\cdot9{,}67\cdot(6{,}5)^2 \approx 204{,}2\;\text{rad}.
O número de voltas é
\frac{\theta}{2\pi} \approx \frac{204{,}2}{2\pi} \approx 32{,}5\;\text{voltas}.

Passo 4

A distância percorrida por um ponto a r=0{,}05 m é
s = r\,\theta = 0{,}05\cdot204{,}2 \approx 10{,}21\;\text{m}.

Passo 5

Para a frenagem de 600 rpm ( \omega_i=62{,}83 rad/s) a 400 rpm:
\omega_f = 400\,\frac{\text{rev}}{\min}\times\frac{1}{60}\times2\pi \approx 41{,}89\;\text{rad/s}, \quad t = 10{,}0\;\text{s}.
A aceleração angular é
\alpha = \frac{\omega_f-\omega_i}{t} = \frac{41{,}89 - 62{,}83}{10} \approx -2{,}094\;\text{rad/s}^2.
O deslocamento angular nessa queda é
\theta = \omega_i\,t + \tfrac12\,\alpha\,t^2 = 62{,}83\cdot10 + \tfrac12\cdot(-2{,}094)\cdot100 \approx 523{,}6\;\text{rad},
logo o número de voltas é
\frac{\theta}{2\pi} \approx \frac{523{,}6}{2\pi} \approx 83{,}3\;\text{voltas}.

Resposta

(a) \alpha \approx 9{,}67\;\mathrm{rad/s^2}
(b) 32{,}5 voltas
(c) 10{,}21\;\mathrm{m}
(d) 83{,}3 voltas

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