Questão 5. A 20^{\circ} \mathrm{C} e a uma pressão de 750 torr, os caminhos livres médios do argônio (Ar) e do nitrogênio ( \mathrm{N}_{2} ) são \lambda_{\mathrm{Ar}}=9,9 \times 10^{-6} \mathrm{~cm} e \lambda_{\mathrm{N} 2}=27,5 \times 10^{-6} \mathrm{~cm}. (a) Determine a razão entre o diâmetro de um átomo de \mathrm{A}_{\mathrm{r}} e o de uma molécula de \mathrm{N}_{2}. Qual é o livre caminho médio do argônio (b) a 12^{\circ} \mathrm{C} e 147 torr? ( 2,00 pontos)

Passo 1

O enunciado dá os caminhos livres médios de argônio e nitrogênio a 20\circC (que é T_{1}=293 K) e 750 torr, valendo \lambda_{\mathrm{Ar}}=9,9\times10^{-6} cm e \lambda_{\mathrm{N}_{2}}=27,5\times10^{-6} cm. Pede-se (a) a razão entre os diâmetros de um átomo de Ar e de uma molécula de \mathrm{N}_{2} e (b) o novo caminho livre médio de Ar a 12\circC ( T_{2}=285 K) e 147 torr. Para isso usamos a fórmula da teoria cinética para o caminho livre médio:
\lambda = \frac{k_{B}T}{\sqrt{2}\,\pi\,d^{2}P},
onde d é o diâmetro efetivo de colisão e P a pressão.

Passo 2

Como a fórmula dá \lambda\propto T/(d^{2}P), a relação entre \lambda_{\mathrm{Ar}} e \lambda_{\mathrm{N}_{2}} a igual T e P é
\frac{\lambda_{\mathrm{Ar}}}{\lambda_{\mathrm{N}_{2}}} =\frac{1/d_{\mathrm{Ar}}^{2}}{1/d_{\mathrm{N}_{2}}^{2}} =\biggl(\frac{d_{\mathrm{N}_{2}}}{d_{\mathrm{Ar}}}\biggr)^{2}.
Desse modo
\frac{d_{\mathrm{Ar}}}{d_{\mathrm{N}_{2}}} =\sqrt{\frac{\lambda_{\mathrm{N}_{2}}}{\lambda_{\mathrm{Ar}}}}.

Passo 3

Substituindo os valores
\frac{d_{\mathrm{Ar}}}{d_{\mathrm{N}_{2}}} =\sqrt{\frac{27{,}5\times10^{-6}}{9{,}9\times10^{-6}}} =\sqrt{2{,}7778} \approx1{,}67.

Passo 4

Para o novo caminho livre médio de Ar a T_{2} e P_{2}=147 torr, aproveitamos que
\lambda\propto T/P, logo
\lambda_{\mathrm{Ar},2} =\lambda_{\mathrm{Ar},1}\,\frac{T_{2}}{T_{1}}\,\frac{P_{1}}{P_{2}},
com P_{1}=750 torr e T_{1}=293 K.

Passo 5

Calculando numericamente
\lambda_{\mathrm{Ar},2} =9{,}9\times10^{-6}\,\text{cm}\;\times\frac{285}{293}\times\frac{750}{147} \approx9{,}9\times10^{-6}\times0{,}972\times5{,}102 \approx4{,}9\times10^{-5}\text{ cm}.

Resposta

(a) \displaystyle\frac{d_{\mathrm{Ar}}}{d_{\mathrm{N}_{2}}}\approx1{,}67.
(b) \displaystyle\lambda_{\mathrm{Ar}}(12\,^\circ\mathrm{C},147\,\mathrm{torr})\approx4{,}9\times10^{-5}\text{ cm}.

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