4- Um disco compacto gira do repouso até 2000 rpm em 12 s . (a) Qual é a sua aceleração angular, supondo que seja constante? (b) Quantas revoluções o disco faz nesse tempo? (c) Quanto se desloca um ponto que está a 12 cm do centro do disco durante essa aceleração? (d) Qual é a aceleração de frenagem para reduzir a velocidade para 1000 rpm em 8 s ?

Passo 1

O enunciado diz que um disco parte do repouso ( \omega_0=0) e atinge 2000 rpm em 12 s, com aceleração angular constante. Vamos usar a cinemática rotacional, em particular
\omega = \omega_0 + \alpha t e
\theta = \omega_0 t + \tfrac12\,\alpha t^2,
além de converter rpm em rad/s e usar s = r\,\theta para a parte (c).

Passo 2

(a) Converter 2000 rpm para rad/s:
\omega = 2000\;\frac{\text{rev}}{\min}\times\frac{2\pi\;\text{rad}}{1\;\text{rev}}\times\frac{1\;\min}{60\;\text{s}} = \frac{2000\cdot2\pi}{60}\;\text{rad/s} \approx 209{,}44\;\text{rad/s}.
Como \omega_0=0, a aceleração angular é
\alpha = \frac{\omega - \omega_0}{t} = \frac{209{,}44}{12} \approx 17{,}45\;\text{rad/s}^2.

Passo 3

(b) O deslocamento angular em 12 s é
\theta = \omega_0\,t + \tfrac12\,\alpha\,t^2 = \tfrac12\cdot17{,}45\cdot12^2 = 8{,}725\cdot144 =1256{,}4\;\text{rad}.
Convertendo para revoluções:
\frac{\theta}{2\pi} = \frac{1256{,}4}{2\pi}\approx200\;\text{rev}.

Passo 4

(c) Um ponto a r=0{,}12 m do centro percorre
s = r\,\theta = 0{,}12\cdot1256{,}4 \approx150{,}8\;\text{m}.

Passo 5

(d) Para reduzir de 2000 rpm ( \omega_i\approx209{,}44 rad/s) a 1000 rpm ( \omega_f=1000\cdot2\pi/60\approx104{,}72 rad/s) em 8 s,
\alpha_{\rm fren} = \frac{\omega_f-\omega_i}{t} = \frac{104{,}72-209{,}44}{8} \approx -13{,}09\;\text{rad/s}^2.

Resposta

(a) \alpha\approx17{,}45\;\mathrm{rad/s}^2
(b) 200 revoluções
(c) s\approx150{,}8\;\mathrm{m}
(d) \alpha_{\rm fren}\approx-13{,}09\;\mathrm{rad/s}^2

Exercícios relacionados