Esboce a região limitada pelas curvas dadas e calcule sua área:
y=x^{2}-12 e y=x^{2}-6;

Passo 1

O enunciado pede para esboçar e calcular a área da região limitada pelas curvas
y = x^{2} - 12
e
y = x^{2} - 6.
O conteúdo é o cálculo de área entre duas funções de x, o que normalmente se faz integrando a diferença entre elas num intervalo onde se intersectam.

Passo 2

Vamos achar os pontos de interseção resolvendo
x^{2}-12 = x^{2}-6.
Subtraindo x^{2} de ambos os lados obtém-se
-12 = -6,
o que é impossível. Portanto não há solução, ou seja, as curvas não se intersectam.

Passo 3

Como as duas parábolas têm o mesmo termo x^{2} e estão apenas deslocadas verticalmente em 6 unidades, a parábola y = x^{2}-6 está sempre 6 unidades acima de y = x^{2}-12. Esboçando-as, vemos um “falso paralelismo” que não fecha nenhuma região em x.

Passo 4

Se tentássemos calcular a área entre elas como
\int_{-\infty}^{\infty}\bigl[(x^{2}-6) - (x^{2}-12)\bigr]\,dx =\int_{-\infty}^{\infty}6\,dx,
esse integral diverge, pois
\int_{-L}^{L}6\,dx = 6\,(2L)=12L
e cresce sem limite quando L\to\infty.

Passo 5

Concluímos que não existe região fechada pelas duas curvas e, portanto, não há área finita a ser calculada.

Resposta

Não há região limitada pelas curvas e a “área” entre elas é infinita.

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