1. \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{e^{n}}+\frac{1}{n(n+1)}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma infinita
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{e^{n}}+\frac{1}{n(n+1)}\Bigr).
Para isso, a gente percebe que dá para dividir a soma em duas partes independentes: uma série geométrica \sum_{n=1}^{\infty}1/e^n e uma série telescópica \sum_{n=1}^{\infty}1/[n(n+1)].

Passo 2

Vamos à parte geométrica. Como \bigl|1/e\bigr|<1, vale a fórmula
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{e^{n}} =\frac{\frac{1}{e}}{1-\frac{1}{e}} =\frac{1}{e-1}.

Passo 3

Agora a parte telescópica. Note que
\frac{1}{n(n+1)} =\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}.
Somando de n=1 até N
\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n(n+1)} =\sum_{n=1}^{N}\Bigl(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\Bigr) =1-\frac{1}{N+1}.
Fazendo N\to\infty, sobra
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}=1.

Passo 4

Bastou somar os dois resultados:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{e^{n}}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)} =\frac{1}{e-1}+1 =\frac{e}{e-1}.

Resposta

\displaystyle \frac{e}{e-1}

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