Uma roda de aço de um vagão de trem tem a forma de um disco. O raio da roda é
e sua massa é 100 kg . Determinar;
A) o momento de inércia (dado: momento de inércia de um disco
)
B) a energia cinética de rotação para velocidade angular de
.
C) o torque necessário para uma aceleração angular de
.
A) o momento de inércia (dado: momento de inércia de um disco
B) a energia cinética de rotação para velocidade angular de
C) o torque necessário para uma aceleração angular de
Passo 1
Dados fornecidos:
- raio da roda:
. - massa da roda:
. - velocidade angular pedida na parte (B):
. - aceleração angular pedida na parte (C):
. - fórmula dada para o momento de inércia de um disco:
.
O que se pede:
A) Calcular o momento de inércia da roda.
B) Calcular a energia cinética de rotação quando
.
C) Calcular o torque necessário para obter
.
A) Calcular o momento de inércia
B) Calcular a energia cinética de rotação
C) Calcular o torque
Passo 2
Primeiro, colocar todas as unidades no SI (metros, quilogramas, segundos). O raio está em centímetros, convertemos para metros porque a fórmula de momento de inércia exige
em metros:
Expliquei isso porque em física sempre usamos o SI para evitar erros de fatores de
.
Passo 3
A) Cálculo do momento de inércia
.
O que é a fórmula
? É a expressão que dá a “inércia rotacional” de um disco homogêneo em torno de seu eixo central. Analogia: em movimento linear a inércia é a massa
; em rotação a inércia é
. As unidades de
são
.
Agora substituímos os números. Faço passo a passo:
Calculo intermediário:
. Então
Podemos arredondar conforme algarismos significativos dos dados; com três algarismos significativos:
.
Passo 4
B) Energia cinética de rotação
.
Fórmula: a energia cinética rotacional de um corpo rígido é
onde
é o momento de inércia (em
) e
é a velocidade angular (em
). A unidade resultante é joule (
).
Substituindo
e
:
Então
Faço um truque mental para multiplicar:
. Como
, temos
. Agora o fator
dá
Em notação com três algarismos significativos:
.
Passo 5
C) Torque necessário
para a aceleração angular
.
Princípio: o torque líquido necessário para produzir uma aceleração angular em um corpo rígido é análogo à segunda lei de Newton; a relação é
onde
tem unidades de newton-metro (
),
em
e
em
.
Substituindo
e
:
Com três algarismos significativos:
.