Uma roda de aço de um vagão de trem tem a forma de um disco. O raio da roda é 25,0 \mathrm{~cm} e sua massa é 100 kg . Determinar;
A) o momento de inércia (dado: momento de inércia de um disco =(1 / 2) \mathrm{MR}^{2} )
B) a energia cinética de rotação para velocidade angular de 40,0 \mathrm{rad} / \mathrm{s}.
C) o torque necessário para uma aceleração angular de 0,100 \mathrm{rad} / \mathrm{s}^{2}.

Passo 1

Dados fornecidos:
  • raio da roda: R=25{,}0\\ \mathrm{cm}.
  • massa da roda: M=100\\ \mathrm{kg}.
  • velocidade angular pedida na parte (B): \omega=40{,}0\\ \mathrm{rad/s}.
  • aceleração angular pedida na parte (C): \alpha=0{,}100\\ \mathrm{rad/s^{2}}.
  • fórmula dada para o momento de inércia de um disco: I=\tfrac{1}{2}MR^{2}.
O que se pede:
A) Calcular o momento de inércia I da roda.
B) Calcular a energia cinética de rotação K quando \omega=40{,}0\\ \mathrm{rad/s}.
C) Calcular o torque \tau necessário para obter \alpha=0{,}100\\ \mathrm{rad/s^{2}}.

Passo 2

Primeiro, colocar todas as unidades no SI (metros, quilogramas, segundos). O raio está em centímetros, convertemos para metros porque a fórmula de momento de inércia exige R em metros:
R = 25{,}0\\ \mathrm{cm} = 0{,}250\\ \mathrm{m}.
Expliquei isso porque em física sempre usamos o SI para evitar erros de fatores de 10.

Passo 3

A) Cálculo do momento de inércia I.
O que é a fórmula I=\tfrac{1}{2}MR^{2}? É a expressão que dá a “inércia rotacional” de um disco homogêneo em torno de seu eixo central. Analogia: em movimento linear a inércia é a massa M; em rotação a inércia é I. As unidades de I são \mathrm{kg\cdot m^{2}}.
Agora substituímos os números. Faço passo a passo:
I=\tfrac{1}{2}MR^{2}=\tfrac{1}{2}\cdot 100\\ \mathrm{kg}\cdot(0{,}250\\ \mathrm{m})^{2}.
Calculo intermediário: (0{,}250)^{2}=0{,}0625. Então
I=\tfrac{1}{2}\cdot 100\cdot 0{,}0625=50\cdot 0{,}0625=3{,}125\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}}.
Podemos arredondar conforme algarismos significativos dos dados; com três algarismos significativos: I=3{,}13\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}}.

Passo 4

B) Energia cinética de rotação K.
Fórmula: a energia cinética rotacional de um corpo rígido é
K=\tfrac{1}{2}I\omega^{2},
onde I é o momento de inércia (em \mathrm{kg\cdot m^{2}}) e \omega é a velocidade angular (em \mathrm{rad/s}). A unidade resultante é joule ( \mathrm{J}).
Substituindo I=3{,}125\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}} e \omega=40{,}0\\ \mathrm{rad/s}:
\omega^{2}=(40{,}0)^{2}=1600.
Então
K=\tfrac{1}{2}\cdot 3{,}125\cdot 1600.
Faço um truque mental para multiplicar: 3{,}125\cdot 1600 = 3{,}125\cdot 16\cdot 100. Como 3{,}125\cdot 16=50, temos 3{,}125\cdot1600=50\cdot100=5000. Agora o fator \tfrac{1}{2}
K=\tfrac{1}{2}\cdot 5000 = 2500\\ \mathrm{J}.
Em notação com três algarismos significativos: K=2{,}50\times 10^{3}\\ \mathrm{J}.

Passo 5

C) Torque necessário \tau para a aceleração angular \alpha.
Princípio: o torque líquido necessário para produzir uma aceleração angular em um corpo rígido é análogo à segunda lei de Newton; a relação é
\tau = I\alpha,
onde \tau tem unidades de newton-metro ( \mathrm{N\cdot m}), I em \mathrm{kg\cdot m^{2}} e \alpha em \mathrm{rad/s^{2}}.
Substituindo I=3{,}125\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}} e \alpha=0{,}100\\ \mathrm{rad/s^{2}}:
\tau = 3{,}125\cdot 0{,}100 = 0{,}3125\\ \mathrm{N\cdot m}.
Com três algarismos significativos: \tau = 0{,}313\\ \mathrm{N\cdot m}.

Resposta

\;I = 3{,}13\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}}
\;K = 2{,}50\times 10^{3}\\ \mathrm{J}
\;\tau = 0{,}313\\ \mathrm{N\cdot m}

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