Um disco de massa 200_{\mathrm{R}} e raio 20 cm tem aceleraçăo angular dada por \alpha(t)=0,4 t onde t esta em segundos e a aceleraçao em \mathrm{rad} / \mathrm{s}^{2}. Sabendo que em \mathrm{t}=0 o disco esta em repouso, determine a energía cinética de rotação no instante 10 s.

Passo 1

O enunciado trata de um disco de massa 200 g e raio 20 cm que parte do repouso \omega(0)=0 e tem aceleração angular \alpha(t)=0,4\,t (unidades: t em segundos e \alpha em \mathrm{rad/s}^2). Queremos a energia cinética de rotação K no instante t=10 s. Para isso vamos obter primeiro a velocidade angular \omega(10), depois o momento de inércia I do disco e por fim usar
K = \tfrac12\,I\,\omega^2.

Passo 2

Calcular a velocidade angular \omega(t) integrando \alpha(t):
\omega(t)=\int_0^t \alpha(t')\,dt'=\int_0^t 0,4\,t'\,dt' =0,4\;\frac{t^2}{2}=0,2\,t^2.
Em t=10 s:
\omega(10)=0,2\times(10)^2=0,2\times100=20\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 3

Determinar o momento de inércia I de um disco uniforme de massa m e raio R:
I=\tfrac12\,m\,R^2.
Convertendo unidades: m=200 g =0,2 kg e R=20 cm =0,20 m, logo
I=\tfrac12\times0,2\times(0,20)^2 =\;0,1\times0,04 =0,004\\ \mathrm{kg\cdot m^2}.

Passo 4

Calcular a energia cinética de rotação em t=10 s:
K=\tfrac12\,I\,\omega^2 =\tfrac12\times0,004\times(20)^2 =0,002\times400 =0,8\\ \mathrm{J}.

Resposta

A energia cinética de rotação no instante 10 s é 0,8 J.

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