Questão 4 - Dadas as séries de potências das funções \operatorname{sen}(\mathrm{x}), \cos (\mathrm{x}) e \exp (\mathrm{x}), mostre a igualdade de Euler.

Passo 1

O enunciado pede para usarmos as séries de potências de \sin(x), \cos(x) e \exp(x) para mostrar a chamada igualdade de Euler
\exp(i x) = \cos(x) + i\,\sin(x).
O conteúdo é séries de potências e números complexos; vamos precisar das expansões conhecidas e da propriedade i^2=-1.

Passo 2

Escrevendo as séries de potências conhecidas:
\exp(x) \;=\; \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!},
\cos(x) \;=\;\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!},
\sin(x) \;=\;\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}.

Passo 3

Para obter \exp(i x), basta substituir x por i x na série de \exp(x):
\exp(i x) =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i x)^n}{n!}.

Passo 4

Vamos separar essa soma em termos de índice par e índice ímpar. Para n=2k temos
(i x)^{2k} = i^{2k}\,x^{2k} = (-1)^k\,x^{2k},
e para n=2k+1 temos
(i x)^{2k+1} = i^{2k+1}\,x^{2k+1} = i\,(-1)^k\,x^{2k+1}.
Assim
\exp(i x) =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k\,x^{2k}}{(2k)!} \;+\;\sum_{k=0}^{\infty}\frac{i\,(-1)^k\,x^{2k+1}}{(2k+1)!}.

Passo 5

Observando as duas somas: a primeira é exatamente a série de \cos(x) e a segunda é i vezes a série de \sin(x). Logo
\exp(i x) =\cos(x) + i\,\sin(x),
que é a igualdade de Euler que queríamos demonstrar.

Resposta

\exp(i x) = \cos(x) + i\,\sin(x)

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