Questão 4 - Dadas as séries de potências das funções
e
, mostre a igualdade de Euler.
Passo 1
O enunciado pede para usarmos as séries de potências de
,
e
para mostrar a chamada igualdade de Euler
O conteúdo é séries de potências e números complexos; vamos precisar das expansões conhecidas e da propriedade
.
Passo 2
Escrevendo as séries de potências conhecidas:
Passo 3
Para obter
, basta substituir
por
na série de
:
Passo 4
Vamos separar essa soma em termos de índice par e índice ímpar. Para
temos
e para
temos
Assim
Passo 5
Observando as duas somas: a primeira é exatamente a série de
e a segunda é
vezes a série de
. Logo
que é a igualdade de Euler que queríamos demonstrar.