Um disco de massa 200 g e raio 20 cm tem aceleração angular dada por \alpha(t)=0,4 t onde t está em segundos e a aceleração \mathrm{em} \mathrm{rad} / \mathrm{s}^{2}. Sabendo que em t=0 \mathrm{~s} o disco está em repouso, determine a energia cinética de rotação no instante 10 s .

Passo 1

O enunciado descreve um disco de massa m=200\text{ g}=0,2\text{ kg} e raio R=20\text{ cm}=0,2\text{ m}, cuja aceleração angular é
\alpha(t)=0,4\,t\quad\bigl(\text{rad/s}^2\bigr),
com condição inicial de repouso \omega(0)=0.
Queremos a energia cinética de rotação em t=10\text{ s}.
Conteúdo: cinemática angular, momento de inércia de um disco e energia cinética rotacional.

Passo 2

Para achar a velocidade angular \omega(t) integramos a aceleração angular:
\omega(t)=\int_0^t\alpha(t')\,dt' =\int_0^t0,4\,t'\,dt' =0,4\,\frac{t^2}{2} =0,2\,t^2.

Passo 3

Avaliaremos em t=10\text{ s}:
\omega(10)=0,2\,(10)^2=0,2\times100=20\text{ rad/s}.

Passo 4

O momento de inércia de um disco sólido em torno de seu eixo é
I=\tfrac12\,m\,R^2 =\tfrac12\times0,2\times(0,2)^2 =0,004\\ \text{kg\cdotm}^2.

Passo 5

A energia cinética rotacional é
K=\tfrac12\,I\,\omega^2 =\tfrac12\times0,004\times(20)^2 =0,8\\ \text{J}.

Resposta

A energia cinética de rotação no instante 10\text{ s} é 0,8\text{ J}.

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