Três massas m são colocadas nas posições (0,0,0),(L, 0,0) e (0, L, 0). Calcule o tensor de inércia em relação aos eixos (x, y, z).

Passo 1

O enunciado pede o tensor de inércia de um sistema formado por três massas pontuais iguais, cada uma de massa m, localizadas em (0,0,0), (L,0,0) e (0,L,0). O conteúdo aqui é tensão de inércia para um conjunto de partículas discretas; vamos usar a definição
I_{ij} \;=\;\sum_{\alpha} m_\alpha\bigl(r_\alpha^2\,\delta_{ij}-x_{\alpha,i}\,x_{\alpha,j}\bigr),
onde r_\alpha^2=x_{\alpha,1}^2+x_{\alpha,2}^2+x_{\alpha,3}^2.

Passo 2

Para sistemas de pontos é prático usar as componentes:
I_{xx}=\sum m\,(y^2+z^2),\quad I_{yy}=\sum m\,(x^2+z^2),\quad I_{zz}=\sum m\,(x^2+y^2),
e os produtos mistos
I_{xy}=-\sum m\,x\,y,\quad I_{xz}=-\sum m\,x\,z,\quad I_{yz}=-\sum m\,y\,z.

Passo 3

Anotando as posições e seu quadrado de distância ao eixo:
  1. Para (0,0,0): (x,y,z)=(0,0,0) contribui zero a todas as componentes.
  2. Para (L,0,0):
    x=L,y=0,z=0 implica
I_{xx}\to m(0^2+0^2)=0,\quad I_{yy}\to m(L^2+0^2)=mL^2,\quad I_{zz}\to m(L^2+0^2)=mL^2,
e I_{xy},I_{xz},I_{yz} nulos pois algum fator x,y ou z é zero.
3. Para (0,L,0):
x=0,y=L,z=0 implica
I_{xx}\to m(L^2+0^2)=mL^2,\quad I_{yy}\to m(0^2+0^2)=0,\quad I_{zz}\to m(0^2+L^2)=mL^2,
e novamente todos os produtos mistos são zero.

Passo 4

Somando as contribuições:
I_{xx}=0 + 0 + mL^2 = mL^2,\quad I_{yy}=0 + mL^2 + 0 = mL^2,\quad I_{zz}=0 + mL^2 + mL^2 = 2mL^2,
e
I_{xy}=I_{xz}=I_{yz}=0.
Logo o tensor de inércia em coordenadas (x,y,z) é diagonal.

Resposta

\mathbf{I}=\begin{pmatrix} mL^2 & 0 & 0\\\\ 0 & mL^2 & 0\\\\ 0 & 0 & 2mL^2 \end{pmatrix}.

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