Um disco de massa M e raio R é livre para girar em torno de seu eixo central, sem atrito. Aplica-se um torque constante \tau_{0}. Se a velocidade angular inicial é zero, encontre:
a. A aceleração angular \alpha.
b. O tempo t necessário para o disco atingir velocidade angular \omega

Passo 1

O enunciado trata de um disco de massa M e raio R girando livremente em torno de seu eixo, recebendo um torque constante \tau_{0}. A velocidade angular inicial é zero. Precisamos usar dois conceitos de dinâmica rotacional:
  1. A relação entre torque e aceleração angular, \tau=I\,\alpha.
  2. A cinemática rotacional para aceleração constante, \omega=\omega_{0}+\alpha\,t.

Passo 2

O momento de inércia de um disco homogêneo de massa M e raio R em torno de seu eixo central vale
I = \frac{1}{2}\,M\,R^{2}\,.

Passo 3

Aplicando a relação \tau_{0}=I\,\alpha e isolando \alpha, obtemos
\alpha = \frac{\tau_{0}}{I} = \frac{\tau_{0}}{\tfrac{1}{2}M\,R^{2}} = \frac{2\,\tau_{0}}{M\,R^{2}}.

Passo 4

Como \omega_{0}=0 e \alpha é constante, da cinemática rotacional
\omega = \alpha\,t
segue que
t = \frac{\omega}{\alpha} = \frac{\omega}{\tfrac{2\,\tau_{0}}{M\,R^{2}}} = \frac{M\,R^{2}\,\omega}{2\,\tau_{0}}.

Resposta

a. \displaystyle \alpha = \frac{2\,\tau_{0}}{M\,R^{2}}
b. \displaystyle t = \frac{M\,R^{2}\,\omega}{2\,\tau_{0}}

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