Uma máquina de Atwood consiste em duas massas de 4,0 \mathrm{~kg} e 2,0 \mathrm{~kg} ligadas por uma corda que passa por uma polia de massa 1,0 \mathrm{~kg} e raio 0,1 \mathrm{~m} (considere a polia um disco). Calcule a aceleração das massas.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado).
  • Massas: m_1=4,0\\ \mathrm{kg} (mais pesada) e m_2=2,0\\ \mathrm{kg} (mais leve).
  • Polia: massa M=1,0\\ \mathrm{kg}, raio R=0,10\\ \mathrm{m}. A polia é um disco, portanto seu momento de inércia vale I=\dfrac{1}{2} M R^{2}.
  • A corda não escorrega sobre a polia (hipótese usual).
  • Constante gravidade: vou usar g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}.
O que o enunciado pede: calcular a aceleração das massas (o módulo da aceleração e indicar a direção — qual massa desce).

Passo 2

Escolher convenções e forças.
  • Como m_1>m_2, m_1 irá descer e m_2 subir; tomo a como o módulo da aceleração (positiva no sentido do movimento de m_1: para m_1 é para baixo e para m_2 é para cima).
  • As tensões nas duas extremidades da corda podem ser diferentes por causa da inércia rotacional da polia; chamo T_1 a tensão do lado de m_1 e T_2 a tensão do lado de m_2.
  • Relação entre aceleração linear e angular da polia (sem deslizamento): a aceleração linear da corda é a e a aceleração angular da polia é \alpha, com
\alpha=\dfrac{a}{R}.

Passo 3

Equações de movimento para as massas (segunda lei de Newton).
Para m_1 (descendo): as forças na direção do movimento são o peso para baixo m_1 g e a tensão para cima T_1. Logo
m_1 g - T_1 = m_1 a.
Expliquei: o lado esquerdo é força resultante (peso menos tensão) e isso é igual à massa vezes a aceleração.

Passo 4

Equação para m_2 (subindo): as forças na direção de a são T_2 para cima e o peso m_2 g para baixo, então
T_2 - m_2 g = m_2 a.
Novamente, força resultante = massa × aceleração.

Passo 5

Equação de rotação da polia.
O torque resultante sobre a polia vem das duas tensões que agem em sentidos opostos; tomando torque positivo no sentido que corresponde a m_1 girando para baixo,
(T_1 - T_2)\,R = I\,\alpha.
Substitui I=\dfrac{1}{2} M R^{2} e \alpha=\dfrac{a}{R}:
(T_1 - T_2)\,R = \left(\dfrac{1}{2} M R^{2}\right)\!\left(\dfrac{a}{R}\right).
Simplificando o R:
T_1 - T_2 = \dfrac{1}{2} M a.
Explicação: a diferença de tensões produz o torque que causa a aceleração angular da polia; ao usar I do disco e a relação entre \alpha e a obtemos uma relação direta entre T_1-T_2 e a.

Passo 6

Combinar as equações para eliminar as tensões e encontrar a.
Somando as equações de m_1 e m_2:
(m_1 g - T_1) + (T_2 - m_2 g) = m_1 a + m_2 a.
Reagrupando:
(m_1 - m_2)g + ( -T_1 + T_2) = (m_1 + m_2) a.
Observe que -T_1 + T_2 = -(T_1 - T_2). Usando a relação da polia T_1 - T_2 = \dfrac{1}{2} M a, obtemos
(m_1 - m_2)g - \dfrac{1}{2} M a = (m_1 + m_2) a.
Passando o termo com a para o lado direito:
(m_1 - m_2)g = \left(m_1 + m_2 + \dfrac{1}{2} M\right) a.
Finalmente isolamos a:
a = \dfrac{(m_1 - m_2)g}{m_1 + m_2 + \dfrac{1}{2} M}.
Comentário: essa fórmula é intuitiva — aparece a soma das massas translacionais mais uma contribuição efetiva da massa da polia \tfrac{1}{2}M porque o disco tem energia rotacional.

Passo 7

Substituir os valores numéricos e calcular.
  • Numerador:
(m_1 - m_2)g = (4,0 - 2,0)\times 9,8 = 2,0\times 9,8 = 19,6.
  • Denominador:
m_1 + m_2 + \tfrac{1}{2}M = 4,0 + 2,0 + \tfrac{1}{2}\times 1,0 = 6,5.
Logo
a = \dfrac{19,6}{6,5} \approx 3,015\ldots \\ \mathrm{m/s^{2}}.
Arredondando de forma apropriada, a \approx 3,02\\ \mathrm{m/s^{2}}. A direção: m_1 (4,0 kg) desce com essa aceleração e m_2 sobe com módulo 3,02\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 8

Verificação rápida (opcional, para ganhar confiança): calcular as tensões e checar a equação rotacional.
  • De m_1 g - T_1 = m_1 a:
T_1 = m_1(g - a) = 4,0(9,8 - 3,015\ldots) \approx 27,14\\ \mathrm{N}.
  • De T_2 - m_2 g = m_2 a:
T_2 = m_2(g + a) = 2,0(9,8 + 3,015\ldots) \approx 25,63\\ \mathrm{N}.
Então T_1 - T_2 \approx 1,51\\ \mathrm{N} e \tfrac{1}{2}M a = 0,5\times 1,0\times 3,015\ldots \approx 1,51\\ \mathrm{N}, confirma a relação rotacional — tudo consistente.

Resposta

a = 3,02\\ \mathrm{m/s^{2}}

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