Uma máquina de Atwood consiste em duas massas de
e
ligadas por uma corda que passa por uma polia de massa
e raio
(considere a polia um disco). Calcule a aceleração das massas.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado).
- Massas:
(mais pesada) e (mais leve). - Polia: massa
, raio . A polia é um disco, portanto seu momento de inércia vale . - A corda não escorrega sobre a polia (hipótese usual).
- Constante gravidade: vou usar
.
O que o enunciado pede: calcular a aceleração das massas (o módulo da aceleração e indicar a direção — qual massa desce).
Passo 2
Escolher convenções e forças.
- Como
, irá descer e subir; tomo como o módulo da aceleração (positiva no sentido do movimento de : para é para baixo e para é para cima). - As tensões nas duas extremidades da corda podem ser diferentes por causa da inércia rotacional da polia; chamo
a tensão do lado de e a tensão do lado de . - Relação entre aceleração linear e angular da polia (sem deslizamento): a aceleração linear da corda é
e a aceleração angular da polia é , com
Passo 3
Equações de movimento para as massas (segunda lei de Newton).
Para (descendo): as forças na direção do movimento são o peso para baixo
e a tensão para cima
. Logo
Para
Expliquei: o lado esquerdo é força resultante (peso menos tensão) e isso é igual à massa vezes a aceleração.
Passo 4
Equação para
(subindo): as forças na direção de
são
para cima e o peso
para baixo, então
Novamente, força resultante = massa × aceleração.
Passo 5
Equação de rotação da polia.
O torque resultante sobre a polia vem das duas tensões que agem em sentidos opostos; tomando torque positivo no sentido que corresponde a girando para baixo,
O torque resultante sobre a polia vem das duas tensões que agem em sentidos opostos; tomando torque positivo no sentido que corresponde a
Substitui
e
:
Simplificando o
:
Explicação: a diferença de tensões produz o torque que causa a aceleração angular da polia; ao usar
do disco e a relação entre
e
obtemos uma relação direta entre
e
.
Passo 6
Combinar as equações para eliminar as tensões e encontrar
.
Somando as equações de e
:
Somando as equações de
Reagrupando:
Observe que
. Usando a relação da polia
, obtemos
Passando o termo com
para o lado direito:
Finalmente isolamos
:
Comentário: essa fórmula é intuitiva — aparece a soma das massas translacionais mais uma contribuição efetiva da massa da polia
porque o disco tem energia rotacional.
Passo 7
Substituir os valores numéricos e calcular.
- Numerador:
- Denominador:
Logo
Arredondando de forma apropriada,
. A direção:
(4,0 kg) desce com essa aceleração e
sobe com módulo
.
Passo 8
Verificação rápida (opcional, para ganhar confiança): calcular as tensões e checar a equação rotacional.
- De
:
- De
:
Então
e
, confirma a relação rotacional — tudo consistente.