Questão 1 ( 2,5 pontos) - Europa é um dos quatro satélites de Júpiter descoberto por Galileu em 1610. Várias sondas espaciais tem sido enviadas à Júpiter e seus satélites ao longo da história e o interesse por Europa tem aumentado. Isso é divido à sua superfície extremamente lisa sugerir que existe um mar salgado em estado líquido sob sua superficie congelada, onde poderia haver vida extraterrestre. Alguns dados colhidos pelas sondas espaciais para Europa incluem a distância de periastro ( 664.862 km ), a distância de apoastro ( 676.938 km ) e o período orbital ( 3,5511 dias).
a. Calcule o semieixo maior da órbita de Europa.
b. Calcule a massa de Júpiter.
c. Calcule a velocidade orbital de Europa.

Passo 1

O enunciado dá a órbita elíptica de Europa em torno de Júpiter com distância de periastro r_{p}=664\,862\\ \mathrm{km}, distância de apoastro r_{a}=676\,938\\ \mathrm{km} e período orbital T=3{,}5511\\ \mathrm{dias}. Precisamos usar conceitos de órbitas de Kepler:
  • Para (a), a definição de semieixo maior de uma elipse;
  • Para (b), a terceira lei de Kepler na forma
T^{2}=\frac{4\pi^{2}a^{3}}{G\,M_{J}},
onde a é o semieixo maior, G a constante gravitacional e M_{J} a massa de Júpiter;
  • Para (c), a velocidade orbital aproximada de uma órbita quase circular de raio a, usando
v=\frac{2\pi\,a}{T} \quad\text{ou}\quad v=\sqrt{\frac{G\,M_{J}}{a}}.

Passo 2

Calcular o semieixo maior a. Em quilômetros:
a = \frac{r_{p}+r_{a}}{2} = \frac{664\,862 + 676\,938}{2} =670\,900\\ \mathrm{km}.
Convertendo para metros (multiplica por 10^{3}):
a = 670\,900\times10^{3}\\ \mathrm{m} =6{,}709\times10^{8}\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Determinar a massa de Júpiter M_{J} usando
T^{2} = \frac{4\pi^{2}a^{3}}{G\,M_{J}} \;\;\Longrightarrow\;\; M_{J} = \frac{4\pi^{2}a^{3}}{G\,T^{2}}.
Primeiro convertemos o período para segundos:
T = 3{,}5511\\ \mathrm{dias}\times 86\,400\\ \frac{\mathrm{s}}{\mathrm{dia}} \approx3{,}0682\times10^{5}\\ \mathrm{s}.
Substituindo G=6{,}674\times10^{-11}\\ \mathrm{m^{3}\cdotkg^{-1}\cdots^{-2}} e a=6{,}709\times10^{8}\\ \mathrm{m}:
M_{J} \approx \frac{4\pi^{2}\,(6{,}709\times10^{8})^{3}} {6{,}674\times10^{-11}\,(3{,}0682\times10^{5})^{2}} \approx1{,}90\times10^{27}\\ \mathrm{kg}.

Passo 4

Calcular a velocidade orbital v. Como a excentricidade é muito pequena, aproximamos a órbita por um círculo de raio a. Então
v = \frac{2\pi\,a}{T} = \frac{2\pi\,(6{,}709\times10^{8}\\ \mathrm{m})} {3{,}0682\times10^{5}\\ \mathrm{s}} \approx1{,}37\times10^{4}\\ \mathrm{m/s} =13{,}7\\ \mathrm{km/s}.
(Alternativamente, usar v=\sqrt{GM_{J}/a}, que dá o mesmo resultado.)

Resposta

(a) a =6{,}709\times10^{8}\\ \mathrm{m}.
(b) M_{J}\approx1{,}90\times10^{27}\\ \mathrm{kg}.
(c) v\approx1{,}37\times10^{4}\\ \mathrm{m/s} ( \approx 13,7 km/s).

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