Uma granada de
está inicialmente em repouso no solo quando explode em três fragmentos. Dois deles têm as seguintes características:
Fragmento 1:
, movendo-se com
para a direita.
Fragmento
, movendo-se com
para cima.
Qual a velocidade (módulo e direção) do terceiro fragmento após a explosão?
Fragmento 1:
Fragmento
Qual a velocidade (módulo e direção) do terceiro fragmento após a explosão?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma granada de 3,0 kg que estava parada no chão e explode em três pedaços. Dois desses pedaços já sabemos suas massas e velocidades. A questão quer saber qual a velocidade (tanto a rapidez quanto a direção) do terceiro pedaço depois da explosão.
Aqui, vamos usar a Lei da Conservação da Quantidade de Movimento. Isso significa que a quantidade total de movimento antes da explosão é igual à quantidade total de movimento depois. Como a granada estava parada antes de explodir, a quantidade total de movimento inicial é zero.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a quantidade de movimento de cada fragmento. A quantidade de movimento § é dada pela fórmula:
Onde:
- $ m $ é a massa
- $ v $ é a velocidade
Vamos calcular para o Fragmento 1 e o Fragmento 2.
Passo 3
Fragmento 1:
- Massa ($ m_1 $) = 1,0 kg
- Velocidade ($ v_1 $) = 6,0 m/s para a direita
A quantidade de movimento:
E como está para a direita, consideramos positivo no eixo x:
Fragmento 2:
- Massa ($ m_2 $) = 1,2 kg
- Velocidade ($ v_2 $) = 4,0 m/s para cima
A quantidade de movimento:
Como está para cima, consideramos positivo no eixo y:
Passo 4
Agora, vamos chamar a quantidade de movimento do terceiro fragmento de $ p_3 $ com componentes $ p_{3x} $ e $ p_{3y} $. Como a quantidade total de movimento inicial era zero, devemos ter:
Isso significa que:
Substituindo os valores que já temos:
Esses sinais negativos indicam que o terceiro fragmento está se movendo para a esquerda (no eixo x) e para baixo (no eixo y).
Passo 5
Agora, para encontrar a velocidade do terceiro fragmento, usamos novamente a fórmula da quantidade de movimento, mas isolando a velocidade:
Sabemos que a massa total da granada era 3,0 kg e já temos as massas dos dois fragmentos:
Então:
Passo 6
Por fim, vamos encontrar o módulo e a direção da velocidade do terceiro fragmento.
O módulo da velocidade é dado pelo teorema de Pitágoras:
Para encontrar a direção, calculamos o ângulo $ \theta $ com relação ao eixo x:
Como ambos os componentes são negativos, o ângulo está no terceiro quadrante, ou seja, o movimento é para baixo e para a esquerda em relação ao ponto inicial.
Resposta
A velocidade do terceiro fragmento é de aproximadamente 9,6 m/s na direção 38,7° abaixo da esquerda horizontal.