Uma granada de 3,0 kg está inicialmente em repouso no solo quando explode em três fragmentos. Dois deles têm as seguintes características:
Fragmento 1: 1,0 kg, movendo-se com 6,0 m / s para a direita.
Fragmento 2: 1,2 kg, movendo-se com 4,0 m / s para cima.
Qual a velocidade (módulo e direção) do terceiro fragmento após a explosão?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma granada de 3,0 kg que estava parada no chão e explode em três pedaços. Dois desses pedaços já sabemos suas massas e velocidades. A questão quer saber qual a velocidade (tanto a rapidez quanto a direção) do terceiro pedaço depois da explosão.
Aqui, vamos usar a Lei da Conservação da Quantidade de Movimento. Isso significa que a quantidade total de movimento antes da explosão é igual à quantidade total de movimento depois. Como a granada estava parada antes de explodir, a quantidade total de movimento inicial é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a quantidade de movimento de cada fragmento. A quantidade de movimento § é dada pela fórmula:
p = m times v
Onde:
  • $ m $ é a massa
  • $ v $ é a velocidade
Vamos calcular para o Fragmento 1 e o Fragmento 2.

Passo 3

Fragmento 1:
  • Massa ($ m_1 $) = 1,0 kg
  • Velocidade ($ v_1 $) = 6,0 m/s para a direita
A quantidade de movimento:
m1
E como está para a direita, consideramos positivo no eixo x:
v1
p1 = m1 times v1 = 1,0 times 6,0 = 6,0 , kg·m/s (sem movimento na vertical)
Fragmento 2:
  • Massa ($ m_2 $) = 1,2 kg
  • Velocidade ($ v_2 $) = 4,0 m/s para cima
A quantidade de movimento:
p1x = +6,0 , kg·m/s
Como está para cima, consideramos positivo no eixo y:
p1y = 0 , kg·m/s
m2

Passo 4

Agora, vamos chamar a quantidade de movimento do terceiro fragmento de $ p_3 $ com componentes $ p_{3x} $ e $ p_{3y} $. Como a quantidade total de movimento inicial era zero, devemos ter:
p3
Isso significa que:
p3x
p3y
Substituindo os valores que já temos:
ptotal = p1 + p2 + p3 = 0
p3x = -(p1x + p2x)
Esses sinais negativos indicam que o terceiro fragmento está se movendo para a esquerda (no eixo x) e para baixo (no eixo y).

Passo 5

Agora, para encontrar a velocidade do terceiro fragmento, usamos novamente a fórmula da quantidade de movimento, mas isolando a velocidade:
v3 = p3m3
Sabemos que a massa total da granada era 3,0 kg e já temos as massas dos dois fragmentos:
m3 = 3,0 - 1,0 - 1,2 = 0,8 , kg
Então:
v3x = p3xm3 = -6,00,8 = -7,5 , m/s
v3y = p3ym3 = -4,80,8 = -6,0 , m/s

Passo 6

Por fim, vamos encontrar o módulo e a direção da velocidade do terceiro fragmento.
O módulo da velocidade é dado pelo teorema de Pitágoras:
|v3| = raizv3x^2 + v3y^2 = raiz(-7,5)^2 + (-6,0)^2 = raiz56,25 + 36 = raiz92,25 approx 9,6 , m/s
Para encontrar a direção, calculamos o ângulo $ \theta $ com relação ao eixo x:
theta
Como ambos os componentes são negativos, o ângulo está no terceiro quadrante, ou seja, o movimento é para baixo e para a esquerda em relação ao ponto inicial.

Resposta

A velocidade do terceiro fragmento é de aproximadamente 9,6 m/s na direção 38,7° abaixo da esquerda horizontal.

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