Um disco de serra elétrica de raio 10,0 \mathrm{~cm} atinge a velocidade angular de 20 \pi \mathrm{rad} / \mathrm{s}, a partir do repouso, em um intervalo de tempo de 4,00 \mathrm{~s}. Determinar:
A) a aceleração angular, supondo ser constante.
B) a função horária da posição angular para este disco.
C) o deslocamento angular de um ponto da borda do disco no referido intervalo de 5,00 \mathrm{~s}.
D) o momento de inércia (dados: momento de inércia de um disco =(1 / 2) \mathrm{MR}^{2} e massa do disco =0,500 \mathrm{~kg} )
E) a energia cinética de rotação para velocidade angular de 40,0 \mathrm{rad} / \mathrm{s}.
F) o torque necessário para a aceleração angular do item A.

Passo 1

Vamos organizar direitinho o que o enunciado dá e o que ele pede, sem resolver nada ainda — só pra você se situar (respira, dá pra fazer).
Dados fornecidos:
R = 10{,}0\\ \text{cm} = 0{,}100\\ \text{m}
\omega_0 = 0\quad(\text{parte do repouso})
\omega(4{,}00\\ \text{s}) = 20\pi\\ \text{rad/s}
\Delta t = 4{,}00\\ \text{s}\\ (\text{intervalo no qual atinge essa velocidade})
M = 0{,}500\\ \text{kg}
Momento de inércia do disco (dado): \;I_{\text{disco}} = \tfrac{1}{2} M R^{2}.
O que o problema pede:
A) A aceleração angular (supondo-a constante).
B) A função horária da posição angular \theta(t) para o disco.
C) O deslocamento angular de um ponto da borda do disco no intervalo de 5{,}00\\ \text{s}.
D) O momento de inércia do disco (usar a fórmula dada e os dados).
E) A energia cinética de rotação para \omega = 40{,}0\\ \text{rad/s}.
F) O torque necessário para produzir a aceleração angular do item A.

Passo 2

Calcular a aceleração angular \alpha. Primeiro a fórmula e o que ela significa: a aceleração angular mede a taxa de variação da velocidade angular por unidade de tempo, análoga à aceleração linear. Para aceleração angular constante:
\alpha = \frac{\Delta \omega}{\Delta t} = \frac{\omega_{\text{final}}-\omega_{\text{inicial}}}{t_{\text{final}}-t_{\text{inicial}}}.
Aqui \omega_{\text{inicial}}=\omega_0=0 e \omega_{\text{final}}=20\pi\\ \text{rad/s} em \Delta t=4{,}00\\ \text{s}. Substituindo:
\alpha = \frac{20\pi - 0}{4{,}00} = 5\pi\\ \text{rad/s}^2.
Valor numérico aproximado:
5\pi \approx 15{,}708\\ \text{rad/s}^2.
Interpretação rápida: a cada segundo a velocidade angular aumenta em cerca de 15{,}7\\ \text{rad/s}.

Passo 3

Montar a função horária da posição angular \theta(t). Explicando a fórmula: para movimento rotacional com aceleração angular constante, a análoga da equação horária linear é
\theta(t) = \theta_0 + \omega_0 t + \tfrac{1}{2}\alpha t^2,
onde \theta é o deslocamento angular em radianos, \theta_0 é a posição angular inicial, \omega_0 a velocidade angular inicial e \alpha a aceleração angular (tudo análogo às grandezas lineares). No problema começamos do repouso e podemos escolher \theta_0=0 (referência):
\theta(t) = 0 + 0\cdot t + \tfrac{1}{2}\alpha t^2 = \tfrac{1}{2}\alpha t^2.
Substituindo \alpha = 5\pi:
\theta(t) = \tfrac{1}{2}\cdot 5\pi\\ t^2 = 2{,}5\pi\\ t^2\\ \text{(rad)}.
Valor numérico do coeficiente: 2{,}5\pi \approx 7{,}85398, logo \theta(t)\approx 7{,}854\\ t^2\\ \text{rad}.

Passo 4

Calcular o deslocamento angular em t=5{,}00\\ \text{s}. Usamos a função do passo anterior:
\theta(5{,}00) = 2{,}5\pi \cdot (5{,}00)^2 = 2{,}5\pi \cdot 25 = 62{,}5\pi\\ \text{rad}.
Valor numérico aproximado:
62{,}5\pi \approx 196{,}35\\ \text{rad}.
Interpretação prática (útil para prova): quantas voltas isso dá? Uma volta completa é 2\pi rad, então
\text{voltas} = \frac{62{,}5\pi}{2\pi} = 31{,}25\\ \text{voltas}.

Passo 5

Calcular o momento de inércia I do disco usando a fórmula dada e explicar unidades. A fórmula:
I = \tfrac{1}{2} M R^2,
onde M é a massa em kg e R o raio em metros. Substituindo M=0{,}500\\ \text{kg} e R=0{,}100\\ \text{m}:
I = \tfrac{1}{2}\cdot 0{,}500 \cdot (0{,}100)^2.
Calcule passo a passo:
(0{,}100)^2 = 0{,}0100,
\tfrac{1}{2}\cdot 0{,}500 = 0{,}250,
I = 0{,}250 \cdot 0{,}0100 = 0{,}00250\\ \text{kg}\cdot\text{m}^2.
Então I = 0{,}00250\\ \text{kg}\cdot\text{m}^2.

Passo 6

Energia cinética de rotação para \omega = 40{,}0\\ \text{rad/s}. Fórmula e significado: a energia cinética rotacional de um corpo rígido que gira em torno de um eixo é
K = \tfrac{1}{2} I \omega^2,
onde I é o momento de inércia e \omega a velocidade angular. Substituímos I = 0{,}00250\\ \text{kg}\cdot\text{m}^2 e \omega = 40{,}0\\ \text{rad/s}:
\omega^2 = (40{,}0)^2 = 1600,
K = \tfrac{1}{2}\cdot 0{,}00250 \cdot 1600.
Calcule:
\tfrac{1}{2}\cdot 0{,}00250 = 0{,}00125,
K = 0{,}00125 \cdot 1600 = 2{,}00\\ \text{J}.
Portanto a energia cinética de rotação é 2{,}00\\ \text{J}.

Passo 7

Torque necessário para produzir a aceleração angular do item A. Explicando: a relação análoga a F=ma na rotação é
\tau = I \alpha,
onde \tau é o torque resultante (momento de força), I o momento de inércia e \alpha a aceleração angular desejada. Substituímos I=0{,}00250\\ \text{kg}\cdot\text{m}^2 e \alpha = 5\pi\\ \text{rad/s}^2:
\tau = 0{,}00250 \cdot 5\pi = 0{,}0125\pi\\ \text{N}\cdot\text{m}.
Valor numérico aproximado:
0{,}0125\pi \approx 0{,}03927\\ \text{N}\cdot\text{m}.
Interpretação: é um torque bem pequeno (pq o disco é leve e pequeno), mas é esse torque líquido que faz a velocidade angular aumentar na taxa calculada.

Resposta

A) \alpha = 5\pi\\ \text{rad/s}^2 \approx 15{,}708\\ \text{rad/s}^2
B) \theta(t) = 2{,}5\pi\\ t^2\\ \text{rad} \quad(\text{ou }\theta(t)\approx 7{,}854\\ t^2\\ \text{rad})
C) \Delta\theta(5{,}00\\ \text{s}) = 62{,}5\pi\\ \text{rad} \approx 196{,}35\\ \text{rad} ( = 31{,}25 voltas)
D) I = 0{,}00250\\ \text{kg}\cdot\text{m}^2
E) K = 2{,}00\\ \text{J}
F) \tau = 0{,}0125\pi\\ \text{N}\cdot\text{m} \approx 0{,}03927\\ \text{N}\cdot\text{m}

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