Uma partícula em movimento circular apresenta a posição angular
\theta(t)=0,200+0,500 t+0,100 t^{3}
Em unidades do Sistema Internacional. Determinar:
A) a função horária da velocidade angular;
B) a função horária da aceleração angular.

Passo 1

O enunciado dá a posição angular da partícula em função do tempo:
\theta(t)=0,200+0,500\,t+0,100\,t^{3}
em unidades do Sistema Internacional. Pede-se:
A) a função horária da velocidade angular;
B) a função horária da aceleração angular.
Dados relevantes: a expressão de \theta(t) acima é tudo o que precisamos para calcular as derivadas temporais que fornecem \omega(t) e \alpha(t).

Passo 2

Conceito que vamos usar (sem pular etapas): a velocidade angular \omega(t) é a taxa instantânea de variação da posição angular \theta(t) em relação ao tempo. Em fórmulas:
\omega(t)=\dfrac{d\theta}{dt}.
Isto significa que devemos derivar termo a termo a função \theta(t). Regras de derivação usadas aqui (explicadas):
  • A derivada de uma constante é zero. Ex.: se c é constante então \dfrac{d}{dt}\text{(c)}=0.
  • A derivada de um termo linear a\,t é o coeficiente: \dfrac{d}{dt}(a\,t)=a.
  • Regra do poder (power rule): para t^{n} com n real, \dfrac{d}{dt}(t^{n})=n\,t^{n-1}.
    Se houver um coeficiente a, então \dfrac{d}{dt}\big(a\,t^{n}\big)=a\,n\,t^{n-1}.
    Exemplo rápido: \dfrac{d}{dt}(5\,t^{3})=5\cdot 3\,t^{2}=15\,t^{2}.

Passo 3

Aplicando as regras termo a termo em \theta(t)=0,200+0,500\,t+0,100\,t^{3}:
  • Derivada de 0,200 é 0.
  • Derivada de 0,500\,t é 0,500.
  • Derivada de 0,100\,t^{3} é 0,100\cdot 3\,t^{2}=0,300\,t^{2}.
    Somando os resultados:
\omega(t)=0,500+0,300\,t^{2}.

Passo 4

Interpretação e unidades da \omega(t): a função \omega(t) dada por \omega(t)=0,500+0,300\,t^{2} tem unidades de radiano por segundo ( \mathrm{rad/s}) no SI, porque é derivada de uma posição angular (rad) em relação ao tempo (s). Observação prática: a velocidade angular começa em \omega(0)=0,500\\ \mathrm{rad/s} e cresce com o quadrado do tempo devido ao termo 0,300\,t^{2}.

Passo 5

Para a aceleração angular, usamos que ela é a derivada da velocidade angular (ou a segunda derivada de \theta):
\alpha(t)=\dfrac{d\omega}{dt}=\dfrac{d^{2}\theta}{dt^{2}}.
Novamente aplicamos a regra do poder termo a termo à \omega(t).

Passo 6

Derivando \omega(t)=0,500+0,300\,t^{2}:
  • Derivada de 0,500 é 0.
  • Derivada de 0,300\,t^{2} é 0,300\cdot 2\,t=0,600\,t.
    Portanto:
\alpha(t)=0,600\,t.

Passo 7

Unidades e observações finais: \alpha(t)=0,600\,t tem unidades de radiano por segundo ao quadrado ( \mathrm{rad/s^{2}}). Note que \alpha(0)=0, ou seja, no instante inicial não há aceleração angular, mas ela aumenta linearmente com o tempo.

Resposta

A) \omega(t)=0,500+0,300\,t^{2}
B) \alpha(t)=0,600\,t

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