Uma partícula em movimento circular apresenta a posição angular
Em unidades do Sistema Internacional. Determinar:
A) a função horária da velocidade angular;
B) a função horária da aceleração angular.
A) a função horária da velocidade angular;
B) a função horária da aceleração angular.
Passo 1
O enunciado dá a posição angular da partícula em função do tempo:
em unidades do Sistema Internacional. Pede-se:
A) a função horária da velocidade angular;
B) a função horária da aceleração angular.
Dados relevantes: a expressão de acima é tudo o que precisamos para calcular as derivadas temporais que fornecem
e
.
A) a função horária da velocidade angular;
B) a função horária da aceleração angular.
Dados relevantes: a expressão de
Passo 2
Conceito que vamos usar (sem pular etapas): a velocidade angular
é a taxa instantânea de variação da posição angular
em relação ao tempo. Em fórmulas:
Isto significa que devemos derivar termo a termo a função
. Regras de derivação usadas aqui (explicadas):
- A derivada de uma constante é zero. Ex.: se
é constante então . - A derivada de um termo linear
é o coeficiente: . - Regra do poder (power rule): para
com real, .
Se houver um coeficiente, então .
Exemplo rápido:.
Passo 3
Aplicando as regras termo a termo em
:
- Derivada de
é . - Derivada de
é . - Derivada de
é .
Somando os resultados:
Passo 4
Interpretação e unidades da
: a função
dada por
tem unidades de radiano por segundo (
) no SI, porque é derivada de uma posição angular (rad) em relação ao tempo (s). Observação prática: a velocidade angular começa em
e cresce com o quadrado do tempo devido ao termo
.
Passo 5
Para a aceleração angular, usamos que ela é a derivada da velocidade angular (ou a segunda derivada de
):
Novamente aplicamos a regra do poder termo a termo à
.
Passo 6
Derivando
:
- Derivada de
é . - Derivada de
é .
Portanto:
Passo 7
Unidades e observações finais:
tem unidades de radiano por segundo ao quadrado (
). Note que
, ou seja, no instante inicial não há aceleração angular, mas ela aumenta linearmente com o tempo.
Resposta
A)
B)
B)