Uma partícula em movimento circular apresenta a aceleração angular
Em unidades do Sistema Internacional. No instante inicial a velocidade angular era
e a posição angular inicial era zero. Determinar:
A) a função horária da velocidade angular;
B) a função horária da posição angular.
A) a função horária da velocidade angular;
B) a função horária da posição angular.
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações e pede duas coisas claras.
- Dado:
(unidades do SI). - Condições iniciais:
e . - Perguntas:
A) Determinar a função horária da velocidade angular.
B) Determinar a função horária da posição angular.
Passo 2
Entendendo a relação entre as grandezas (mini-aula prática).
- A aceleração angular
é a taxa de variação da velocidade angular; em fórmula: - Para obter
a partir de fazemos uma integração em relação a . Integrar significa encontrar uma função cuja derivada seja a dada; ao integrar aparece uma constante de integração que ajustamos usando a condição inicial.
Passo 3
Integração para obter
(passo a passo).
Começamos de
Começamos de
Integramos ambos os lados em relação a
:
Fazendo a integral termo a termo (explicando cada termo):
-
porque a integral de uma constante é . -
porque .
Então
onde
é a constante de integração que encontramos usando
.
Passo 4
Determinar a constante usando a condição inicial.
Aplicando :
Aplicando
Como
, segue que
. Portanto a função velocidade angular é
Passo 5
Verificação rápida (checar consistência).
Derivando devemos voltar à
:
Derivando
que é exatamente
. Beleza — nossa
está correta.
Passo 6
Agora obtemos a posição angular
. Mini-aula:
é a taxa de variação da posição angular,
Então, para achar
integramos
.
Passo 7
Integração para
(passo a passo).
Partimos de
Partimos de
Integrando:
Integramos termo a termo:
-
. -
. -
. Como , temos .
Assim
onde
é a constante de integração.
Passo 8
Determinar a constante usando
.
Aplicando obtemos
. Portanto a função posição angular é
Aplicando
Passo 9
Verificação final (consistência entre as funções).
Derivando obtemos
Derivando
logo está tudo coerente.
Resposta
A)
B)
B)