Uma partícula em movimento circular apresenta a aceleração angular
\alpha(t)=0,200+0,500 t
Em unidades do Sistema Internacional. No instante inicial a velocidade angular era 0,100 \mathrm{rad} / \mathrm{s} e a posição angular inicial era zero. Determinar:
A) a função horária da velocidade angular;
B) a função horária da posição angular.

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pede duas coisas claras.
  • Dado: \alpha(t)=0,200+0,500\,t (unidades do SI).
  • Condições iniciais: \omega(0)=0,100\\ \mathrm{rad/s} e \theta(0)=0.
  • Perguntas:
    A) Determinar a função horária da velocidade angular \omega(t).
    B) Determinar a função horária da posição angular \theta(t).

Passo 2

Entendendo a relação entre as grandezas (mini-aula prática).
  • A aceleração angular \alpha(t) é a taxa de variação da velocidade angular; em fórmula: \alpha(t)=\frac{d\omega}{dt}.
  • Para obter \omega(t) a partir de \alpha(t) fazemos uma integração em relação a t. Integrar significa encontrar uma função cuja derivada seja a dada; ao integrar aparece uma constante de integração que ajustamos usando a condição inicial.

Passo 3

Integração para obter \omega(t) (passo a passo).
Começamos de
\alpha(t)=0,200+0,500\,t=\frac{d\omega}{dt}.
Integramos ambos os lados em relação a t:
\omega(t)=\int\bigl(0,200+0,500\,t\bigr)\,dt.
Fazendo a integral termo a termo (explicando cada termo):
  • \int 0,200\,dt = 0,200\,t porque a integral de uma constante a é a\,t.
  • \int 0,500\,t\,dt = 0,500\cdot\frac{t^2}{2}=0,250\,t^2 porque \int t\,dt=\tfrac{t^2}{2}.
Então
\omega(t)=0,200\,t+0,250\,t^2+C,
onde C é a constante de integração que encontramos usando \omega(0)=0,100.

Passo 4

Determinar a constante usando a condição inicial.
Aplicando t=0:
\omega(0)=0,200\cdot 0+0,250\cdot 0^2+C=C.
Como \omega(0)=0,100, segue que C=0,100. Portanto a função velocidade angular é
\omega(t)=0,100+0,200\,t+0,250\,t^2\quad(\mathrm{rad/s}).

Passo 5

Verificação rápida (checar consistência).
Derivando \omega(t) devemos voltar à \alpha(t):
\frac{d\omega}{dt}=0,200+2\cdot0,250\,t=0,200+0,500\,t,
que é exatamente \alpha(t). Beleza — nossa \omega(t) está correta.

Passo 6

Agora obtemos a posição angular \theta(t). Mini-aula: \omega(t) é a taxa de variação da posição angular,
\omega(t)=\frac{d\theta}{dt}.
Então, para achar \theta(t) integramos \omega(t).

Passo 7

Integração para \theta(t) (passo a passo).
Partimos de
\omega(t)=0,100+0,200\,t+0,250\,t^2=\frac{d\theta}{dt}.
Integrando:
\theta(t)=\int\bigl(0,100+0,200\,t+0,250\,t^2\bigr)\,dt.
Integramos termo a termo:
  • \int 0,100\,dt = 0,100\,t.
  • \int 0,200\,t\,dt = 0,200\cdot\frac{t^2}{2}=0,100\,t^2.
  • \int 0,250\,t^2\,dt = 0,250\cdot\frac{t^3}{3}=\frac{0,250}{3}\,t^3. Como 0,250=\tfrac{1}{4}, temos \frac{0,250}{3}=\frac{1}{12}\approx0,083333.
Assim
\theta(t)=0,100\,t+0,100\,t^2+\frac{1}{12}\,t^3+C',
onde C' é a constante de integração.

Passo 8

Determinar a constante usando \theta(0)=0.
Aplicando t=0 obtemos C'=0. Portanto a função posição angular é
\theta(t)=0,100\,t+0,100\,t^2+\frac{1}{12}\,t^3\quad(\mathrm{rad}).

Passo 9

Verificação final (consistência entre as funções).
Derivando \theta(t) obtemos
\frac{d\theta}{dt}=0,100+2\cdot0,100\,t+3\cdot\frac{1}{12}\,t^2=0,100+0,200\,t+0,250\,t^2=\omega(t),
logo está tudo coerente.

Resposta

A) \omega(t)=0,100+0,200\,t+0,250\,t^2\\ \mathrm{rad/s}
B) \theta(t)=0,100\,t+0,100\,t^2+\dfrac{1}{12}\,t^3\\ \mathrm{rad}

Exercícios relacionados