Um disco sólido uniforme de massa m=3,0 \mathrm{~kg} e raio r=0,2 \mathrm{~m} gira em torno de um eixo fixo perpendicular à sua fase com velocidade angular de 6,0 \mathrm{rad} / \mathrm{s}. Calcule o módulo do momento angular do disco quando o eixo de rotação
passa por um ponto intermediário entre o centro e a borda.

Passo 1

O enunciado descreve um disco sólido uniforme de massa m=3{,}0\:\mathrm{kg} e raio r=0{,}2\:\mathrm{m} que gira com velocidade angular \omega=6{,}0\:\mathrm{rad/s}. Inicialmente o eixo de rotação passa pelo centro, mas queremos o momento angular quando o eixo está deslocado e passa em um ponto intermediário entre o centro e a borda. Esse ponto, tipicamente, fica a metade do raio do centro, ou seja, a d=\tfrac{r}{2}. Para resolver, precisamos do momento de inércia em relação ao novo eixo, usando o Teorema dos Eixos Paralelos, e calcular então
L = I_{\text{novo}}\;\omega.

Passo 2

Calcular o momento de inércia em relação ao centro do disco. Para um disco sólido girando em torno de seu eixo central, vale
I_{\text{cm}} = \tfrac{1}{2}\,m\,r^{2}.
Substituindo m=3{,}0\:\mathrm{kg} e r=0{,}2\:\mathrm{m}:
I_{\text{cm}} = \tfrac{1}{2}\times3{,}0\times(0{,}2)^{2} = \tfrac{1}{2}\times3{,}0\times0{,}04 =0{,}06\:\mathrm{kg\cdot m^{2}}.

Passo 3

Definir o deslocamento do eixo em relação ao centro. Como o eixo passa por um ponto intermediário, tomamos
d = \frac{r}{2} = \frac{0{,}2}{2} = 0{,}1\:\mathrm{m}.

Passo 4

Aplicar o Teorema dos Eixos Paralelos para obter o momento de inércia em relação ao novo eixo:
I_{\text{novo}} = I_{\text{cm}} + m\,d^{2} = 0{,}06 + 3{,}0\times(0{,}1)^{2} =0{,}06 + 3{,}0\times0{,}01 =0{,}06 + 0{,}03 =0{,}09\:\mathrm{kg\cdot m^{2}}.

Passo 5

Calcular o momento angular em módulo, usando
L = I_{\text{novo}}\,\omega =0{,}09\times6{,}0 =0{,}54\:\mathrm{kg\cdot m^{2}/s}.

Resposta

0{,}54\:\mathrm{kg\cdot m^{2}/s}

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