Um disco tem raio R de 2,5 cm e uma densidade superficial de sigma de +5,3 mu C / m^2 sobre a sua face superior (Esse é um valor possível pra a densidade superficial de carga sobre o cilindro fotossensível de uma copiadora). (a) Qual o módulo do campo elétrico num ponto sobre o eixo central, distante z=12 cm do disco? (b) Qual é o módulo do campo elétrico na superfície do disco? Nesta condição haverá ruptura elétrica do ar na superfície do disco (para a ruptura do ar é necessário aproximadamente um campo elétrico de 3 times 10^6 N / C ).

Passo 1

O enunciado fala de um disco carregado, raio R=2,5 cm e densidade superficial sigma=5,3,muC/m^2. A matéria envolvida é o cálculo do campo elétrico no eixo de um disco com carga distribuída uniformemente, e para resolver vamos usar a fórmula que vem da integração de anéis de carga, além de conhecer a constante varepsilon0.

Passo 2

Para achar o campo num ponto no eixo a distância z do disco, a gente imagina o disco como muitos anéis concêntricos, escreve a contribuição de cada anel e integra. O resultado conhecido dessa conta é:

Passo 3

E(z) = sigma2,varepsilon0 l(1 - zraizz^2+R^2r)

Passo 4

Agora aplica a fórmula para z=12 cm=0,12 m, com R=0,025 m e sigma=5,3times10^-6 C/m^2. Calculando raizz^2+R^2approx0,1226 m, a relação z/raizz^2+R^2approx0,979, daí

Passo 5

E(0,12) = 5,3times10^-62times8,85times10^-12,(1-0,979)approx6,3times10^3 N/C

Passo 6

Para o campo na superfície do disco, basta pôr z=0 na fórmula, e isso dá:

Passo 7

E(0) = sigma2varepsilon0 = 5,3times10^-62times8,85times10^-12approx3,0times10^5 N/C

Passo 8

Como a ruptura do ar ocorre perto de 3times10^6 N/C e nossos valores estão bem abaixo desse número, não vai rolar descarga elétrica no disco.

Resposta

(a) Aproximadamente 6,3times10^3 N/C. (b) Aproximadamente 3,0times10^5 N/C. Como isso é bem menor que 3times10^6 N/C, não ocorre ruptura do ar.

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