A parte visível de um relâmpago é precedida por um estágio invisível em que uma coluna de elétrons se estende de uma nuvem até a Terra. Esses elétrons vêm da nuvem e de moléculas de ar que estão ionizadas dentro da coluna. A densidade linear de carga
ao longo da coluna tem um valor típico de
. Assim que a coluna alcança a terra, os elétrons do seu interior são descarregados com rapidez para a Terra. Durante a descarga, as colisões entre os elétrons e o ar no interior da coluna resultam num clarão brilhante. Sabendo-se que as moléculas de ar sofrem ruptura (se ionizam) num campo elétrico aproximadamente igual a
, qual é o raio da coluna?
Passo 1
O enunciado descreve uma coluna alongada de elétrons com densidade linear de carga
. Quando a coluna se estende até a Terra, o campo elétrico na superfície da coluna deve atingir o valor de ruptura do ar
. Vamos usar a lei de Gauss para uma carga linear infinita e determinar o raio
tal que o campo na superfície seja igual a
.
Passo 2
Para uma distribuição de carga linear uniforme de densidade
, o campo elétrico a uma distância
do eixo é dado por
onde
é a permissividade do vácuo.
Passo 3
Impondo que na superfície da coluna
o campo seja exatamente o campo de ruptura, temos
Desse modo, isolamos
:
Passo 4
Substituindo
,
e
:
Passo 5
Resposta
O raio da coluna é aproximadamente
metros.