A parte visível de um relâmpago é precedida por um estágio invisível em que uma coluna de elétrons se estende de uma nuvem até a Terra. Esses elétrons vêm da nuvem e de moléculas de ar que estão ionizadas dentro da coluna. A densidade linear de carga lambda ao longo da coluna tem um valor típico de -1 times 10^-3 C / m. Assim que a coluna alcança a terra, os elétrons do seu interior são descarregados com rapidez para a Terra. Durante a descarga, as colisões entre os elétrons e o ar no interior da coluna resultam num clarão brilhante. Sabendo-se que as moléculas de ar sofrem ruptura (se ionizam) num campo elétrico aproximadamente igual a 3 times 10^6 N / C, qual é o raio da coluna?

Passo 1

O enunciado descreve uma coluna alongada de elétrons com densidade linear de carga lambda=-1times10^-3,C/m. Quando a coluna se estende até a Terra, o campo elétrico na superfície da coluna deve atingir o valor de ruptura do ar Eruptura=3times10^6,N/C. Vamos usar a lei de Gauss para uma carga linear infinita e determinar o raio R tal que o campo na superfície seja igual a Eruptura.

Passo 2

Para uma distribuição de carga linear uniforme de densidade lambda, o campo elétrico a uma distância r do eixo é dado por
E(r)=|lambda|2pivarepsilon0,r,
onde varepsilon0 é a permissividade do vácuo.

Passo 3

Impondo que na superfície da coluna r=R o campo seja exatamente o campo de ruptura, temos
E(R)=Eruptura Longrightarrow |lambda|2pivarepsilon0,R=Eruptura
Desse modo, isolamos R:

Passo 4

R=|lambda|2pivarepsilon0,Eruptura
Substituindo lambda=1times10^-3,C/m, varepsilon0=8,85times10^-12,C^2/(Ncdot m^2) e Eruptura=3times10^6,N/C:

Passo 5

R =1times10^-32pi,(8,85times10^-12),(3times10^6) approx6,0 m

Resposta

O raio da coluna é aproximadamente 6,0 metros.

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