Um disco uniforme com massa de 40,0 kg e raio de 0,200 m pode girar torno de um eixo estacionário horizontal sem atrito, que passa pelo seu centro e é perpendicular ao plano do disco. O disco inicialmente está em repouso, e uma força constante F=30,0 N é aplicada tangente à borda do disco. Qual é o módulo a da aceleração resultante de um ponto na borda do disco?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um disco uniforme com massa de 40,0 kg e raio de 0,200 m. Esse disco pode girar em torno de um eixo que passa pelo centro e é perpendicular ao plano dele, sem atrito. A força de 30,0 N está sendo aplicada na borda do disco de forma tangente. Nosso objetivo é encontrar a aceleração que um ponto na borda do disco vai ter. Para isso, vamos usar conceitos de dinâmica rotacional, como torque, momento de inércia e aceleração angular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando uma força é aplicada em um objeto que pode girar, ela gera um torque. O torque ( tau) é dado pela fórmula:
tau = F times r
onde F é a força aplicada e r é a distância do ponto de aplicação da força ao eixo de rotação. No nosso caso, a força está sendo aplicada na borda do disco, então r = 0,200 m.

Passo 3

Calculando o torque:
tau = 30,0 N times 0,200 m = 6,0 N cdot m
Então, o torque aplicado é de 6,0 N cdot m.

Passo 4

Agora, vamos precisar do momento de inércia ( I) do disco. Para um disco uniforme girando em torno do seu centro, o momento de inércia é:
I = 12 m r^2
Substituindo os valores:
I = 12 times 40,0 kg times (0,200 m)^2 = 12 times 40,0 times 0,0400 = 0,800 kg cdot m^2

Passo 5

Com o torque e o momento de inércia, podemos encontrar a aceleração angular ( alpha) usando a segunda lei de Newton para rotação:
tau = I times alpha
Rearranjando para encontrar alpha:
alpha = tauI = 6,0 N cdot m0,800 kg cdot m^2 = 7,5 rad/s^2

Passo 6

Agora que temos a aceleração angular, podemos encontrar a aceleração tangencial ( a) de um ponto na borda do disco. A relação entre elas é:
a = alpha times r
Substituindo os valores:
a = 7,5 rad/s^2 times 0,200 m = 1,5 m/s^2

Resposta

A aceleração resultante de um ponto na borda do disco é de 1,5 m/s^2.

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