Uma esfera maciça de massa
e raio
desce rolando, sem deslizar, sobre um plano inclinado de inclinação
. Encontre uma expressão para o módulo da velocidade de translação do CM da esfera em função do tempo,
, sabendo que a esfera está em repouso no instante
.
Passo 1
Então, temos uma esfera maciça com massa $ M $ e raio $ R $ que está rolando sem deslizar por um plano inclinado que faz um ângulo $ \theta $ com a horizontal. A ideia aqui é encontrar como a velocidade da esfera muda com o tempo, ou seja, $ v_{\mathrm{CM}}(t) $, sabendo que ela parte do repouso quando $ t = 0 $. Vamos precisar usar conceitos de dinâmica de rotação e cinemática, especialmente a condição de rolamento sem deslizamento.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as forças que atuam na esfera enquanto ela desce o plano inclinado. Há duas forças principais: a componente do peso que puxa a esfera para baixo ($ Mg \sin\theta
f $). Como a esfera está rolando sem deslizar, essa força de atrito não está fazendo a esfera se movimentar para baixo, mas sim ajudando-a a girar.
Passo 3
Agora, aplicamos a segunda lei de Newton para a translação, que diz que a força resultante é igual à massa vezes a aceleração ($ F = Ma $). Para a esfera, a força resultante ao longo do plano inclinado é $ Mg \sin\theta - f $, então temos:
Passo 4
Em seguida, aplicamos a segunda lei de Newton para a rotação, que envolve torque ($ \tau
I $). O torque causado pela força de atrito é $ fR $, e o momento de inércia para uma esfera sólida é $ I = \frac{2}{5}MR^2
\alpha $) é:
Passo 5
Sabemos que, para rolar sem deslizar, a aceleração linear ($ a
\alpha $) estão relacionadas por $ a = \alpha R $. Substituindo isso na equação do torque:
Passo 6
Voltando à equação da força resultante:
Vamos reunir os termos com $ a $:
Passo 7
Agora, resolvemos para a aceleração $ a $:
Passo 8
Com a aceleração conhecida, podemos encontrar a velocidade da esfera em função do tempo usando a equação da cinemática:
Como a esfera parte do repouso ($ v_0 = 0 $):
Resposta
A velocidade do centro de massa da esfera em função do tempo é: