Discuta a classificação dos sistemas lineares a seguir em função de k.
l-4 x+3 y=2 5 x-4 y=0 2 x-y=k

Passo 1

O enunciado pede para classificar o sistema linear
-4x + 3y = 2, 5x - 4y = 0, 2x - y = k
em função de k. O conteúdo é classificação de sistemas por posto (rank) das matrizes de coeficientes e ampliada. Vamos precisar (1) avaliar o posto da matriz de coeficientes e (2) impor consistência da terceira equação.

Passo 2

Extraímos a submatriz de coeficientes das duas primeiras equações:
A2times2 = -4 & 35 & -4
O determinante vale
det(A2times2) = (-4)(-4) - 3cdot5 = 16 - 15 = 1 neq 0
Isso mostra que as duas primeiras equações são independentes e determinam (x,y) de forma única, ou seja, o posto da matriz de coeficientes é 2.

Passo 3

Como as duas primeiras equações fixam
por eliminação. Multiplicando a primeira por 5 e a segunda por 4:
soma dando :

Passo 4

Para que o sistema completo seja consistente, a solução (x,y)=(-8,-10) deve satisfazer também
2x - y = k
Substituindo,
2(-8) - (-10) = -16 + 10 = -6
Logo a terceira equação só é satisfeita se
k = -6

Resposta

Para k = -6 o sistema é possível e determinado (única solução (x,y)=(-8,-10)).
Para k neq -6 o sistema é impossível (inconsistente).

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