Questão 7.
Discuta a classificação do sistema a seguir com relação aos valores de e .
Passo 1
Vamos lá! A questão pede para a gente discutir a classificação de um sistema de equações lineares com duas variáveis, dependendo dos valores de m e n . Para resolver isso, vamos precisar entender como sistemas lineares podem ter soluções únicas, infinitas ou nenhuma solução. Vamos usar métodos de álgebra para analisar as equações dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações que temos:
l m x - 2 y = 3 4 x + y = n
Nosso objetivo é descobrir para quais valores de m e n esse sistema terá:
Uma solução única
Infinitas soluções
Nenhuma solução
Passo 3
Para classificar o sistema, vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes. A matriz dos coeficientes é:
m & -2 4 & 1
O determinante De<a dessa matriz é dado por:
De<a = m cdot 1 - (-2) cdot 4 = m + 8
O valor do determinante nos ajuda a saber quantas soluções o sistema tem.
Passo 4
Agora, analisamos o valor de De<a :
Se De<a neq 0 , o sistema tem uma solução única.
Se De<a = 0 , o sistema pode ter infinitas soluções ou nenhuma solução, dependendo dos termos constantes.
Vamos explorar cada caso.
Passo 5
Caso 1: De<a neq 0
m + 8 neq 0 implies m neq -8
Quando m neq -8 , o determinante é diferente de zero, então o sistema tem uma única solução para qualquer valor de n .
Passo 6
Caso 2: De<a = 0
m + 8 = 0 implies m = -8
Quando m = -8 , o determinante é zero. Nesse caso, precisamos verificar se as equações são proporcionais ou não para determinar se há infinitas soluções ou nenhuma.
Então, se m = -8 e n = -32 , as duas equações se tornam equivalentes e o sistema tem infinitas soluções. Se m = -8 mas n neq -32 , as equações são incompatíveis e o sistema não tem solução.
Resposta
Se m neq -8 : O sistema tem uma solução única para qualquer valor de n .
Se m = -8 e n = -32 : O sistema tem infinitas soluções.
Se m = -8 e n neq -32 : O sistema não tem solução.