Questão 7.
Discuta a classificação do sistema a seguir com relação aos valores de m e n.
l m x-2 y=3 4 x+y=n

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para a gente discutir a classificação de um sistema de equações lineares com duas variáveis, dependendo dos valores de m e n . Para resolver isso, vamos precisar entender como sistemas lineares podem ter soluções únicas, infinitas ou nenhuma solução. Vamos usar métodos de álgebra para analisar as equações dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações que temos:
l m x - 2 y = 3 4 x + y = n
Nosso objetivo é descobrir para quais valores de m e n esse sistema terá:
  • Uma solução única
  • Infinitas soluções
  • Nenhuma solução

Passo 3

Para classificar o sistema, vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes. A matriz dos coeficientes é:
m & -2 4 & 1
O determinante De<a dessa matriz é dado por:
De<a = m cdot 1 - (-2) cdot 4 = m + 8
O valor do determinante nos ajuda a saber quantas soluções o sistema tem.

Passo 4

Agora, analisamos o valor de De<a :
  • Se De<a neq 0 , o sistema tem uma solução única.
  • Se De<a = 0 , o sistema pode ter infinitas soluções ou nenhuma solução, dependendo dos termos constantes.
Vamos explorar cada caso.

Passo 5

Caso 1: De<a neq 0
m + 8 neq 0 implies m neq -8
Quando m neq -8 , o determinante é diferente de zero, então o sistema tem uma única solução para qualquer valor de n .

Passo 6

Caso 2: De<a = 0
m + 8 = 0 implies m = -8
Quando m = -8 , o determinante é zero. Nesse caso, precisamos verificar se as equações são proporcionais ou não para determinar se há infinitas soluções ou nenhuma.

Passo 7

Substituindo m = -8 no sistema:
l -8 x - 2 y = 3 4 x + y = n
Multiplicando a segunda equação por 2:
8x + 2y = 2n
Agora, somando com a primeira equação:
(-8x - 2y) + (8x + 2y) = 3 + 2n implies 0 = 3 + 2n
Resolvendo para n :
2n = -3 implies n = -32

Passo 8

Então, se m = -8 e n = -32 , as duas equações se tornam equivalentes e o sistema tem infinitas soluções. Se m = -8 mas n neq -32 , as equações são incompatíveis e o sistema não tem solução.

Resposta

  • Se m neq -8 : O sistema tem uma solução única para qualquer valor de n .
  • Se m = -8 e n = -32 : O sistema tem infinitas soluções.
  • Se m = -8 e n neq -32 : O sistema não tem solução.

Exercícios relacionados