Discuta o comportamento da série abaixo, justificando sua resposta:
sumn=1^+infty 1n^2+n

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Aqui, temos uma série infinita do tipo sumn=1^+infty 1n^2+n. O objetivo é discutir o comportamento dessa série, ou seja, descobrir se ela converge ou diverge. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência, como o Teste da Comparação.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no termo geral da série: 1n^2+n. Às vezes, é útil simplificar esse termo para facilitar a análise. Podemos fatorar o denominador:
1n^2+n = 1n(n+1)

Passo 3

Agora que temos 1n(n+1), vamos comparar isso com uma série que já conhecemos e sabemos se ela converge ou diverge. Uma boa opção aqui é a série p, que tem a forma sumn=1^+infty 1n^p. Sabemos que essa série converge se p > 1 e diverge se p <= 1.

Passo 4

Vamos analisar a nossa série comparando com a série p. Observamos que:
1n(n+1) = 1n^2 + n <= 1n^2
Porque n^2 + n >= n^2 para todo n >= 1, então o denominador é maior, fazendo o termo geral menor.

Passo 5

Sabemos que a série sumn=1^+infty 1n^2 é uma série p com p = 2, que é maior que 1. Portanto, essa série converge.

Passo 6

Como nosso termo geral 1n^2+n é menor ou igual a 1n^2, que pertence a uma série convergente, podemos concluir, pelo Teste da Comparação, que a série sumn=1^+infty 1n^2+n também converge.

Resposta

A série sumn=1^+infty 1n^2+n converge.

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