Discuta o comportamento da série abaixo, justificando sua resposta:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Aqui, temos uma série infinita do tipo
. O objetivo é discutir o comportamento dessa série, ou seja, descobrir se ela converge ou diverge. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência, como o Teste da Comparação.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no termo geral da série:
. Às vezes, é útil simplificar esse termo para facilitar a análise. Podemos fatorar o denominador:
Passo 3
Agora que temos
, vamos comparar isso com uma série que já conhecemos e sabemos se ela converge ou diverge. Uma boa opção aqui é a série p, que tem a forma
. Sabemos que essa série converge se
e diverge se
.
Passo 4
Vamos analisar a nossa série comparando com a série p. Observamos que:
Porque
para todo
, então o denominador é maior, fazendo o termo geral menor.
Passo 5
Sabemos que a série
é uma série p com
, que é maior que 1. Portanto, essa série converge.
Passo 6
Como nosso termo geral
é menor ou igual a
, que pertence a uma série convergente, podemos concluir, pelo Teste da Comparação, que a série
também converge.
Resposta
A série
converge.